Свойства прямой пропорциональности

1. Областью определения функции y=kx и областью её значения являются множество действительных чисел.

2. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. Для построения графика достаточно найти лишь одну точку, принадлежащую ему и не совпадающую с началом координат, а затем через эту точку и начало координат провести прямую.

Пример: Чтобы построить график функции y=2x, достаточно иметь точку с координатами (1; 2), а затем через неё и начало координат провести прямую.

3. При k>0 функция y=kx возрастает на всей области определения; при k<0 – убывает на всей области определения.

4. Сформулируем основной признак прямой пропорциональности. При изменении аргумента в несколько раз, во столько же раз и точно так же изменяется значение функции. Этим свойством можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются величины, связанные прямо пропорциональной зависимостью.

Пример: За 8 часов токарь изготовил 16 деталей. Сколько часов потребуется токарю на изготовление 48 деталей, если он будет работать с той же производительностью?

Решение: В задаче рассматриваются величины – производительность (т.е. количество деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч), время работы токаря, количество сделанных им деталей, причем первая величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Количество деталей и время работы – величины прямо пропорциональные, так как их отношение равно некоторому числу, не равному нулю, а именно числу деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч. Если количество сделанных деталей обозначить буквой у, время работы х, а производительность – k, то у = кх, т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является прямая пропорциональность.

Решить задачу можно двумя арифметическими способами:

1 способ: 2 способ:

1) 16:8=2 (дет.) 1) 48:16=3 (раза)

2) 48:2=24 (ч) 2) 8-3=24 (ч)

Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k, он равен 2, а затем, зная, что у=2х нашли значение x при условии, что у= 48. При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойством прямой пропорциональности: во сколько раз увеличивается количество деталей, сделанных токарем, во столько же раз увеличивается и количество времени на их изготовление.

Обратной пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы: у=, где k - не равное нулю действительное число.

Пример: Если купили 12 кг муки и разложили ее в х пакетов по у кг в каждый, то зависимость между данными величинами можно представить в виде х•у= 12, т.е. она является обратной пропорциональностью с коэффициентом k= 12.