Эпюры касательных напряжений, относительных и абсолютных углов закручивания

Кручение бруса незамкнутого тонкостенного поперечного сечения, состоящего из нескольких участков различной толщины

Кручение бруса незамкнутого криволинейного профиля переменной толщины

При кручении бруса незамкнутого криволинейного профиля переменной толщины применяют приближенный метод, в основе которого лежит замена участка профиля участком сечения в виде вытянутого прямоугольника. Рассмотрим кручение винта самолета (рис. 3.56).

Рисунок 3.56

Предполагая, что поперечное сечение винта состоит из вытянутых прямоугольников шириной ds и высотой δ(s), геометрическая жесткость на кручение будет равна:

Интегрирование ведется вдоль средней линии профиля. Касательные напряжения τ и относительный угол поворота θ можно вычислить по формулам, полученным выше для тонкостенного открытого профиля:

τ(s) = (M_x δ(s))/I_кр

θ = M_x/(G I_кр)

Рассмотрим кручение бруса тонкостенного поперечного сечения состоящего из нескольких участков различной толщины (рис. 3.57).

Рисунок 3.57

Крутящий момент, возникающий в сечении М_x можно представить как сумму крутящих моментов в возникающем в каждом отдельном участке сечения М_xi:

М_x =, где n – число участков.

Из формул для сечения в виде вытянутого прямоугольника:

θ = M_x/(G I_кр),

I_кр = (1/3) δ³h,

крутящий момент на каждом участке:

М_xi = (1/3)θGδ_i³h_i (1)

Учитывая, что относительные углы поворота всех частей сечения одинаковые и равны θ, определяем:

, откуда:

(2)

Согласно формулам:

τ = (M_x δ)/I_кр),

I_кр = (1/3) δ³h,

касательное напряжение на каждом участке равны:

(3)

Подставим в формулу (1) выражение (2), получим, что крутящий момент на каждом участке:

(4)

Подставим (4) в формулу (3) получим касательное напряжение на каждом участке:

Максимальное касательное напряжение:

Касательные напряжения τ, относительные углы закручивания θ и абсолютные углы поворота сечения φ изменяются по длине стержня и являются функцией положения сечения.

Максимальные касательные напряжения τ_max, относительные углы закручивания θ и углы поворота φ при кручении брусьев с произвольным сечением вычисляют по формулам:

τ_max = M_x/W_кр

θ = M_x /(G´I_кр)

где W_кр - момент сопротивления сечения кручению;

I_кр – геометрическая жесткость на кручение;

G – модуль упругости при сдвиге;

l –длина участка стержня.

Значения I_кр и W_кр для наиболее распространенных типов сечений приведены в таблице 3.2.

Таблица 3.2

Сечение	I_кр	W_кр
Сплошные сечения	Колцевой профиль
Прямоугольный профиль
Профиль переменной толщины
Тонкостенные сечения	Открытый профиль
Составной профиль
Замкнутый профиль

Также как и для растяжения или сжатия графики функций τ_max(х), θ(х) и φ(х) представляют в виде эпюр. Все эпюры строят на одном чертеже под расчетной схемой бруса. Оси абсцисс для эпюр проводят параллельно оси бруса, а на перпендикулярах к ним откладывают значения максимальных касательных напряжений, относительных и абсолютных углов поворота. При построении эпюр пользуются следующими правилами.

1. На схеме бруса отмечают характерные сечения, в которых изменяется форма или размер поперечного сечения, либо изменяется нагрузка. Нумерацию начинают со свободного сечения бруса.

2. На каждом участке бруса, ограниченном двумя характерными сечениями отмечают сечение, отстоящее на произвольном расстоянии х от начала участка и для него записывают выражение крутящего момента, по правилам, которые изложены в параграфе 3.3 главы 2.

3. Для каждого участка бруса записывают аналитическое выражение τ_max. Строят эпюру, разделив ординаты эпюры крутящих моментов М_x на момент сопротивления сечения W_кр. На эпюре будут скачки, как в сечениях где приложены сосредоточенные моменты М_x, а также в сечениях где происходит ступенчатое изменение момента сопротивления кручению W_кр.

4. Для каждого участка бруса записывают аналитическое выражение относительного угла закручивания θ(x). Строят эпюру, разделив ординаты эпюры М_x на жесткость сечения на кручение GI_кр.

5. Для каждого участка записывают аналитическое выражение углов поворота сечений бруса φ(х). Углы поворота сечений бруса вычисляют относительно неподвижного сечения (заделки). Между абсолютными углами поворота φ(х) и относительными углами закручивания θ(x) существует интегральная зависимость, следовательно, эпюра φ(х) ограничена кривой, степень которой на единицу выше степени эпюры θ(x), а угол поворота φ(х) любого сечения относительно неподвижной заделки равен площади эпюры θ(x) на интервале от неподвижного сечения до рассматриваемого. В сечениях, где θ(x) =0 на эпюре φ(х) будет экстремум; в сечениях, где на эпюре θ(x) скачок на эпюре φ(х) будет перелом. Характерной особенностью эпюры углов поворота φ(х) является отсутствие на ней скачков.

Пример 3.7

Для заданного ступенчатого вала круглого сечения (рис. 3.58а) построить эпюры крутящих моментов M, максимальных касательных напряжений τ_max, относительных углов закручивания θ, улов поворота сечений j.

Рисунок 3.58

Решение.

1. Освободим вал от заделок и заменим их действие неизвестными крутящими моментами M₁ и M₅ (рис. 3.58б). Запишем уравнение равновесия:

Σmom_x=M₁-M-4M+M₅=0

Система один раз статически неопределима, так как число неизвестных превышает на единицу число независимых уравнений равновесия.

2. Для раскрытия статической неопределимости составим уравнение совместимости деформаций, которое выражает невозможность поворота торцевых сечений друг относительно друга:

j_1-5 = j_1-2+j_2-3+j_3-4+j_4-5=0 (1)

Запишем выражения для углов поворота концевых сечений в пределах каждого участка:

j_1-2= (M_1-2´2a)/(G´I_кр_1-2)

j_2-3= (M_2-3´a)/(G´I_кр_2-3)

j_3-4= (M_3-4´a)/(G´I_кр_3-4)

j_4-5= (M_4-5´2a)/(G´I_кр_4-5), где

I_кр_1-2 = I_кр_2-3 =0,1d⁴

I_кр_3-4 = I_кр_4-5 =0,1(2d)⁴

Крутящие моменты на каждом участке:

M_1-2(x) = -M₁

M_2-3(x) = -M₁+M

M_3-4(x) = -M₁+M