Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе балок тонкостенного профиля

Анализ напряженного состояния при поперечном изгибе бруса

В произвольном месте по длине балки, на уровне y от нейтрального слоя балки, выделим бесконечно малый элемент (рис. 3.71а).

Рисунок 3.71

При плоском прямом изгибе по вертикальным граням будут действовать нормальные и касательные напряжения. По горизонтальным граням будут действовать только касательные напряжения, так как согласно исходному предположению, продольные волокна не оказывают давления друг на друга. Фасадные грани от напряжений свободны. Следовательно, здесь имеет место плоское напряженное состояние. Главные напряжения и угол наклона главных площадок могут быть найдены с помощью круга Мора или по зависимостям:

Круг Мора для элемента, изображенного на рис. 3.71в, построен на рис. 3.71б.

Перемещая элемент от крайнего верхнего до крайнего нижнего волокна балки, будем получать различные виды напряженного состояния и различные по величине и направлению главные напряжения (рис. 3.72).

Рисунок 3.72

В крайнем верхнем положении:

Следовательно, здесь имеет место одноосное напряженное состояние (одноосное растяжение). Следует отметить, что вертикальные площадки являются главными площадками. Главное напряжение s₁ действует параллельно нейтральному слою. Напряжения по наклонным площадкам определяются так же как в случае растяжения.

У нейтрального слоя: σ=0, тогда:

Следовательно, здесь имеет место чистый сдвиг: s₁ и s₃ действуют под углом 45° к нейтральному слою.

В крайнем нижнем положении:

Следовательно, здесь имеет место одноосное напряженное состояние (одноосное сжатие); при этом вертикальные площадки являются главными площадками. Главное напряжение s₃ действует параллельно нейтральному слою.

В промежуточных точках сечения, расположенных ниже нейтральной оси имеет место плоское напряженное состояние, аналогичное напряженному состоянию, изображенному на рисунке 3.71 с той лишь разницей, что напряжения σ являются сжимающими.

При поперечном изгибе балки тонкостенного профиля в ее сечениях преобладающим остаются нормальные напряжения, которые в основном определяют прочность балки. Нормальные напряжения можно вычислить по тем же формулам, что для балок сплошного сечения:

,,

Однако для тонкостенной балки в отличие от балки сплошного сечения существенное значение приобретают также величина и распределение касательных напряжений. Для определения касательных напряжений в поперечном сечении тонкостенной балки принимают допущение, что касательные напряжения τ направлены по касательной к средней линии сечения и по толщине δ распределены равномерно (рис. 3.73).

Рисунок 3.73

Выделим из тонкостенной балки (3.74а) элементарный участок длиной dx и приложим усилия, действующие со стороны отброшенной части (рис. 3.74б).

Рисунок 3.74

Составим уравнение равновесия:

Σx =σ×s×δ – (σ+dσ)×s×δ+τ×δ×dx=0, откуда:

(1)

Продифференцируем выражение для определения нормальных напряжений при поперечном изгибе:, получим:

Подставим в выражение (1), получим:

Так как F^отс y = S_z^отс, окончательно получим:

В этой формуле, как и в формуле Журавского, под Q_y понимается поперечная сила в сечении, направленная перпендикулярно главной центральной оси z и параллельно главной центральной оси y; S_z^отс - статический момент отсеченной части сечения относительно главной центральной оси z; I_z – момент инерции всего сечения относительно главной центральной оси z.

Формулы определения касательных напряжений в сплошном сечении и тонкостенном сечении по внешнему виду похожи. Однако, если по формуле для сплошного сечения определяют только вертикальную составляющую вектора касательных напряжений τ_xy, действующую параллельно перерезывающей силе Q_y, то формула для тонкостенного сечения определяет полный вектор касательных напряжений τ, действующий по касательной к средней линии тонкостенного сечения.

Если направление поперечной силы Q не совпадает с главной центральной осью сечения, тогда касательные напряжения τ можно вычислить:

, где

Q_y, Q_z – составляющие поперечной силы по главным центральным осям y и z.

Пример 3.10

Построить эпюру касательных напряжений в балке тонкостенного сечения при ее поперечном изгибе, при условии, что в поперечном сечении возникает перерезывающая сила Q_y=qa (рис. 3.75a).

Решение.

1. Касательные напряжения вычислим по формуле:

2. Главный центральный момент инерции сечения I_z:

(3)

3. Обозначим потоки касательных усилий на каждом из прямолинейных участков (рис. 3.75б). Направление потока выбираем таким образом, чтобы их направление их суммы совпадало с направлением перерезывающей силы.

Рисунок 3.75

4. Пронумеруем характерные точки сечения, в которых происходит перелом средней линии. В пределах каждого из участков введем местную координату t, которой обозначим расстояние от начала участка до текущей точки сечения (рис. 3.75в). В силу симметрии сечения, рассматриваем только верхнюю часть сечения. Запишем выражения статического момента S на участках средней линии сечения и вычислим значения в характерных точках:

5. Запишем выражения τ на участках средней линии и вычислим значения τ в граничных точках:

6. Построим эпюру касательных напряжений τ (рис. 3.75г).