double arrow

Кинематика криволинейного движения


Рассмотрим материальную точку в системе отсчёта. Она имеет 3 координаты.

Рис. 1.

Часы идут, абсолютные, ни от чего не зависимые. Положение точки A описывается радиус-вектором из начала координат и временем, т.е. 4 компонентами. Материальная точка движется, т.е. изменяет свое положение по отношению к системе отсчёта, следовательно .

, т.е. проекция по оси x меняется со временем.

, т.е. проекция по оси y меняется со временем, в общем случае другим образом.

, аналогично.

Проекцией на оси называется координата конца . Следовательно

x = x (t)

y = y (t)

z = z (t)

Рассмотрим два момента времени t и (t + Δt). Построим разницу векторов

Вектор называется перемещением материальной точки за время Δt. Определение не учитывает, как в течение времени Δt двигалась материальная точка.

- средняя скорость материальной точки на интервале от t до (t + Δt).

- мгновенная скорость материальной точки в момент времени t.

Геометрическое место точек концов материальной точки называется её траекторией. Посмотрим, как направлен вектор мгновенной скорости по отношению к траектории.

Рис.2.

Из определения следует, что вектор коллинеарен с вектором перемещения. Из определения мгновенной скорости следует, что вектор мгновенный будет параллелен соответствующей хорде дуги, которая стремится к нулевой, иными словами, стягивает нулевую дугу, т.е. направлен по касательной. Введём единичный вектор , который направлен по касательной к дуге в сторону движения, тогда

Предел можно записать как производную.

Рассмотрим некоторую дугу траектории, определённую формой и граничными точками.

Рис.3.

Будем уменьшать длину дуги, она всё более будет похожа на окружность. Уменьшая длину дуги, более точно можно приблизить траекторию к окружности. Любой участок траектории можно представить сколь угодно точно в виде дуги окружности. Дуга окружности характеризуется радиусом, т.е. к любой точке траектории можно поставить в соответствие число, равное радиусу окружности, которой представляются данный кусок траектории. Это число – радиус кривизны траектории. Кроме движения по окружности и прямой линии радиус кривизны разный.

R = R (t)

Любое движение можно описать с помощью и rкр. в данной точке. Рассмотрим два момента времени t и (t + Δt). Построим вектор .

Длина вектора скорости и вектор - переменные. Продифференцируем произведение двух функций по времени:

Слагаемое () отвечает за кривизну траектории, слагаемое () отвечает за неравномерность движения. Ускорение представлено в виде суммы двух ускорений.

- тангенциальное ускорение – вектор, который направлен по касательной к траектории. Рассмотрим компоненту .

Рис.4.

, т.е. компонента - направлена по радиусу кривизны – нормальное ускорение.

Полное ускорение имеет вид

Рис.5.

Введем систему координат в данной точке с двумя осями (два единичных вектора). Очень удобно описывать движение частицы в системе координат, когда одна ось совпадает с касательной, а другая с радиусом кривизны – естественная система координат. Она меняется по траектории, но если надо рассмотреть движение в точке или около какой-то точки, то она подходит.


Сейчас читают про: