Рассмотрим материальную точку в системе отсчёта. Она имеет 3 координаты.
Рис. 1.
Часы идут, абсолютные, ни от чего не зависимые. Положение точки A описывается радиус-вектором из начала координат и временем, т.е. 4 компонентами. Материальная точка движется, т.е. изменяет свое положение по отношению к системе отсчёта, следовательно .
, т.е. проекция по оси x меняется со временем.
, т.е. проекция по оси y меняется со временем, в общем случае другим образом.
, аналогично.
Проекцией на оси называется координата конца . Следовательно
x = x (t)
y = y (t)
z = z (t)
Рассмотрим два момента времени t и (t + Δt). Построим разницу векторов
Вектор называется перемещением материальной точки за время Δt. Определение не учитывает, как в течение времени Δt двигалась материальная точка.
- средняя скорость материальной точки на интервале от t до (t + Δt).
- мгновенная скорость материальной точки в момент времени t.
Геометрическое место точек концов материальной точки называется её траекторией. Посмотрим, как направлен вектор мгновенной скорости по отношению к траектории.
Рис.2.
Из определения следует, что вектор коллинеарен с вектором перемещения. Из определения мгновенной скорости следует, что вектор мгновенный будет параллелен соответствующей хорде дуги, которая стремится к нулевой, иными словами, стягивает нулевую дугу, т.е. направлен по касательной. Введём единичный вектор , который направлен по касательной к дуге в сторону движения, тогда
Предел можно записать как производную.
Рассмотрим некоторую дугу траектории, определённую формой и граничными точками.
Рис.3.
Будем уменьшать длину дуги, она всё более будет похожа на окружность. Уменьшая длину дуги, более точно можно приблизить траекторию к окружности. Любой участок траектории можно представить сколь угодно точно в виде дуги окружности. Дуга окружности характеризуется радиусом, т.е. к любой точке траектории можно поставить в соответствие число, равное радиусу окружности, которой представляются данный кусок траектории. Это число – радиус кривизны траектории. Кроме движения по окружности и прямой линии радиус кривизны разный.
R = R (t)
Любое движение можно описать с помощью и rкр. в данной точке. Рассмотрим два момента времени t и (t + Δt). Построим вектор .
Длина вектора скорости и вектор - переменные. Продифференцируем произведение двух функций по времени:
Слагаемое () отвечает за кривизну траектории, слагаемое () отвечает за неравномерность движения. Ускорение представлено в виде суммы двух ускорений.
- тангенциальное ускорение – вектор, который направлен по касательной к траектории. Рассмотрим компоненту .
Рис.4.
, т.е. компонента - направлена по радиусу кривизны – нормальное ускорение.
Полное ускорение имеет вид
Рис.5.
Введем систему координат в данной точке с двумя осями (два единичных вектора). Очень удобно описывать движение частицы в системе координат, когда одна ось совпадает с касательной, а другая с радиусом кривизны – естественная система координат. Она меняется по траектории, но если надо рассмотреть движение в точке или около какой-то точки, то она подходит.