Теорема о движении центра масс механической системы

Тела, не входящие в состав рассматриваемой системы, называются внешними, а силы, действующие со стороны этих тел, называются внешними силами. Соответственно, силы, действующие между телами, входящими в состав рассматриваемой системы, называются внутренними. Тогда на каждую точку, входящую в состав рассматриваемой системы, могут действовать внешние силы и силы , действующие между частицами системы, т.е. силы внутренние. Запишем уравнение второго закона Ньютона для каждого тела рассматриваемой системы:

,

,

………………………………

.

Почленно сложим эти уравнения и получим:

. (3.7)

Слагаемые, заключенные в скобки в уравнении (3.7), представляют собой сумму сил взаимодействия тел с номерами i и k. На основании 3-го закона Ньютона суммы в скобках равны 0. Тогда получим, что

. (3.8)

Слева в (3.8) стоит скорость изменения полного импульса системы, а сумму в правой части (3.8) называют главным вектором внешних сил, или результирующей внешних сил:

.

С учётом сделанных замечаний, вместо выражения (3.8) можно записать:

. (3.9)

Таким образом, получили обобщение 2 закона Ньютона на произвольную механическую систему: скорость изменения импульса всей системы равна главному вектору внешних сил, действующих на систему. В проекциях на оси системы координат:

,, , (3.10)

причём , , . Согласно уравнению (3.6) , и выражение (3.9) принимает вид

,

или, с учётом того, что ,

. (3.11)

Уравнение (3.11) составляет содержание основного закона динамики твёрдого тела: произведение массы тела на ускорение его центра масс равно результирующей силе, действующей на тело. Если рассматривается система из нескольких тел, то из уравнения (3.11) следует, что центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы, и на которую действует результирующая внешних сил, приложенных к системе. Последнее утверждение носит название теоремы о движении центра масс.