Закон Стефана — Больцмана

Планк установил, что каждой длине волны соответствует определенная интенсивность излучения, которая увеличивается с возрастанием температуры. Тепловой поток, излучаемый единицей поверхности черного тела в интервале длин волн от λ до λ + dλ, может быть определен из уравнения:

dE_s = I_Sλ dλ, Вт/м².

Элементарная площадка на рис. 9-1, ограниченная кривой Т = const, основанием dλ и ординатами λ и λ + dλ (I_Sλ), определяет количество лучистой энергии dE_s и называется лучеиспускательной способностью абсолютно черного тела для длин волн dλ. Вся площадь между любой кривой Т = const и осью абсцисс равна интегральному излучению черного тела в пределах от λ = 0 до λ = ∞ при данной температуре:

Подставляя в уравнение закон Планка:

и интегрируя, найдем:

E_s = σ_sT ⁴, Вт/м². (9-5)

Интегральное излучение (тепловой поток) абсолютно черного тела
прямо пропорционально четвертой степени его абсолютной температуры.

Этот закон, экспериментально установленный чешским ученым
Стефаном в 1879 г. и теоретически обоснованный австрийским физиком Больцманом в 1884 г., носит название закона Стефана - Больцмана.

Коэффициент σ_s называют постоянной излучения Стефана - Больцмана для абсолютно черного тела. Он равен: 5,67·10^-8 Вт/(м²·К⁴). Обычно в технической литературе закон Стефана – Больцмана пишут в следующем виде:

E_s = С_s (T /100)⁴ Вт/м², (9-6)

где: Cs — коэффициент излучения абсолютно черного тела:

Cs = 5,67 Вт/(м²·К⁴). |

Для практических расчетов рекомендована более удобная формула:

E_s = 56,7 (T/1000)⁴, кВт/м².

Отмечая на рис. 9-1 количество энергии, отвечающей световой части спектра (0,4-0,8 мкм), нетрудно заметить, что оно для невысоких температур очень мало по сравнению с энергией интегрального излучения. Только при температуре солнца ~ 6000 К энергия световых лучей составляет около 50% от всей энергии черного излучения.

Все реальные тела, используемые в технике, не являются абсолютно черными и при одной и той же температуре излучают меньше энергии, чем абсолютно черное тело. Излучение реальных тел зависит от температуры и длины волны (при А_λ ≈ const < l). Чтобы законы излучения черного тела можно было применить для реальных тел, вводится понятие о сером теле и сером излучении. Под серым излучением понимают такое излучение, которое аналогично излучению черного тела имеет сплошной спектр, но интенсивность лучей для каждой длины волны I_λ при любой температуре составляет неизменную долю от интенсивности излучения черного тела I_Sλ (рис. 9-2). Следовательно, должно существовать следующее отношение:

Величину ε называют степенью черноты. Она зависит от физических свойств тела. Степень черноты серых тел всегда меньше единицы. Большинство реальных твердых тел с определенной степенью точности можно считать серыми телами, а их излучение — серым излучением.

Энергия интегрального излучения серого тела (Вт/м²) равна:

,

но I_λ = ε ∙ I_Sλ, поэтому:

Лучеиспускательная способность серого тела составляет долю, равную ε, от лучеиспускательной способности черного тела. Величину

С = εC_S, Вт/(м²∙К⁴), называют коэффициентом излучения серого тела. Величина С реальных тел в общем случае зависит не только от физических свойств тела, но и от состояния поверхности или от ее шероховатости, а также от температуры и длины волны излучения. Значения коэффициентов излучения и степеней черноты тел берут из таблиц.