Оценка с помощью интервалов

Рассмотренные точечные оценки параметров распределения да­ют оценку в виде числа, наиболее близкого к значению неизвест­ного параметра. Такие оценки используют только при большом числе измерений. Чем меньше объем выборки, тем легче допус­тить ошибку при выборе параметра. Для практики важно не толь­ко получить точечную оценку, но и определить интервал, называе­мый доверительным, между границами которого с заданной дове­рительной вероятностью

где q – уровень значимости; х_н, x_в – нижняя и верхняя границы интервала, находится истинное значение оцениваемого параметра.

В общем случае доверительные интервалы можно строить на основе неравенства Чебышева. При любом законе распределения случайной величины, обладающей моментами первых двух поряд­ков, верхняя граница вероятности попадания отклонения случай­ной величины х от центра распределения х_ц интервал tS_x описы­вается неравенством Чебышевa

где S_х – оценка СКО распределения; t– положительное число.

Для нахождения доверительного интервала не требуется знать закон распределения результатов наблюдений, но нужно знать оцен­ку СКО. Полученные с помощью неравенства Чебышева интервалы оказываются слишком широкими для практики. Так, доверитель­ной вероятности 0,9 для многих законов распределений соответст­вует доверительный интервал 1,6S_x. Неравенство Чебышева дает в данном случае 3,16S_x. В связи с этим оно не получило широкого распространения.

В метрологической практике используют главным образом квантильные оценки доверительного интервала. Под 100P-процентным квантилем х_р понимают абсциссу такой вертикальной линии, слева от которой площадь под кривой плотности распределения равна Р%. Иначе говоря, квантиль – это значение случайной величины (погрешности) с заданной доверительной вероятностью Р. Напри­мер, медиана распределения является 50%-иым квантилем х_0,5.

На практике 25- и 75%-ный квантили принято называть сгиба­ми, или квантилями распределения. Между ними заключено 50% всех возможных значений случайной величины, а остальные 50% лежат вне их. Интервал значений случайной величины х между х_0,05и х_0,95 охватывает 90% всех ее возможных значений и называ­ется интерквантильным промежутком с 90%-ной вероятностью. Его протяженность равна d_0,9= х_0,95 – х_0,05.

На основании такого подхода вводится понятие квантильных значений погрешности, т.е. значений погрешности с заданной до­верительной вероятностью Р – границ интервала неопределенно­сти ±Δ_Д = ±(х_p – х_1–p)/2 = ±d_p/2. На его протяженности встречается Р% значений случайной величины (погрешности), а q = (1–Р)% общего их числа остаются за пределами этого интервала.

Для получения интервальной оценки нормально распределен­ной случайной величины необходимо:

• определить точечную оценку МО и СКО S_x случайной вели­чины по формулам (6.8) и (6.11) соответственно;

• выбрать доверительную вероятность Р из рекомендуемого ря­да значений 0,90; 0,95; 0,99;

• найти верхнюю х_B и нижнюю х_H границы в соответствии с уравнениями

и

полученными с учетом (6.1). Значения х_н и х_в определяются из таблиц значений интегральной функции распределения F(t) или функции Лапласа Ф(t).

Полученный доверительный интервал удовлетворяет условию

(6.13)

где n – число измеренных значений; z_Р – аргумент функции Ла­пласа Ф(t), отвечающей вероятности Р/2. В данном случае z_р назы­вается квантильным множителем. Половина длины доверительно­го интервала называется доверительной границей погрешности результата измерений.

Пример 6.1. Произведено 50 измерений постоянного сопротивления. Оп­ределить доверительный интервал для МО значения постоянного сопротивле­ния, если закон распределения нормальный с параметрами m_x = =590Ом, S_x= 90Ом при доверительной вероятности Р = 0,9.

Так как гипотеза о нормальности закона распределения не противоречит опытным данным, доверительный интервал определяется по формуле

Отсюда Ф(z_Р)=0,45. Из таблицы, приведенной в приложении 1, находим, что z_Р= 1,65. Следовательно, доверительный интервал запишется в виде

или

Окончательно

При отличии закона распределения случайной величины от нормального необходимо построить его математическую модель и определять доверительный интервал с ее использованием.

Рассмотренный способ нахождения доверительных интерва­лов справедлив для достаточно большого числа наблюдений n, когда σ = S_x. Следует помнить, что вычисляемая оценка СКО S_х является лишь некоторым приближением к истинному значению σ. Определение доверительного интервала при заданной вероятно­сти оказывается тем менее надежным, чем меньше число наблюде­ний. Нельзя пользоваться формулами нормального распределения при малом числе наблюдений, если нет возможности теоретически на основе предварительных опытов с достаточно большим числом наблюдений определить СКО.

Расчет доверительных интервалов для случая, когда распреде­ление результатов наблюдений нормально, но их дисперсия неиз­вестна, т.е. при малом числе наблюдений n, возможно выполнить с использованием распределения Стьюдента S(t,k). Оно описывает плотность распределения отношения (дроби Стьюдента):

где Q – истинное значение измеряемой величины. Величины, S_x и вычисляются на основании опытных данных и представ­ляют собой точечные оценки МО, СКО результатов измерений и СКО среднего арифметического значения.

Вероятность того, что дробь Стьюдента в результате выполненных наблюдений примет некоторое значение в интервале (–t_р; +t_p)

(5.14)

где k – число степеней свободы, равное (n–1). Величины t_Р (называемые в данном случае коэффициентами Стьюдента), рас­считанные с помощью двух последних формул для различных зна­чений доверительной вероятности и числа измерений, табулированы (см. таблицу в приложении 1). Следовательно, с помощью распределения Стьюдента можно найти вероятность того, что от­клонение среднего арифметического от истинного значения изме­ряемой величины не превышает .

В тех случаях, когда распределение случайных погрешностей не является нормальным, все же часто пользуются распределением Стьюдента с приближением, степень которого остается неизвест­ной. Распределение Стьюдента применяют при числе измерений n < 30, поскольку уже при n = 20,.., 30 оно переходит в нормаль­ное и вместо уравнения (6.14) можно использовать уравнение (6.13).

Результат измерения записывается в виде:

, P=P_Д

где Р_д – конкретное значение доверительной вероятности. Множи­тель t при большом числе измерений n равен квантильному множи­телю z_р. При малом n он равен коэффициенту Стьюдента.

Полученный результат измерения не является одним конкрет­ным числом, а представляет собой интервал, внутри которого с некоторой вероятностью Р_д находится истинное значение измеряе­мой величины. Выделение середины интервала вовсе не предпо­лагает, что истинное значение ближе к нему, чем к остальным точкам интервала. Оно может быть в любом месте интервала, а с вероятностью 1–Р_Д даже вне его.

Пример 6.2. Определение удельных магнитных потерь для различных образцов одной партия электротехнической стали марки 2212 дало следую­щие результаты: 1,21; 1,17; 1,18; 1,13; 1,19; 1,14; 1,20 и 1.18 Вт/кг. Счи­тал, что систематическая погрешность отсутствует, а случайная распреде­лена по нормальному закону, требуется определить доверительный интер­вал при значениях доверительной вероятности 0,9 в 0,95. Для решения задачи использовать формулу Лапласа и распределение Стьюдента.

По формулам (6.8) и (6.11) находим оценки среднего арифметического значения и СКО результатов измерений. Они соответственно равны 1,18 и 0,0278 Вт/кг. Считая, что оценка СКО равна самому отклонению, нахо­дим:

Отсюда, используя значения функции Лапласа, приведенные в таблице приложения 1, определяем, что z_Р = 1,65. Для Р = 0,95 коэффициент z_Р=1,96. Доверительные интервалы, соответствующие Р = 0,9 и 0,95, рав­ны 1,18±0,016 и 1,18±0,019 Вт/кг.

В том случае, когда нет оснований считать, что СКО и его оценка равны, доверительный интервал определяется на основе распределения Стьюдента:

По таблице приложения 1 находим, что t_{0 9} = 1,9 и t_{0 95} = 2,37. Отсю­да доверительные интервалы соответственно равны 1,18±0,019 и 1,18±0,023 Вт/кг.