Основные понятия теории множеств

Символика математической логики и теории множеств.

При разработке математического обеспечения задач достаточно важным является выбор удобного языка описания математической модели и алгоритма его решения.

Теория множеств составляет основу построения всей современной математики. С помощью логических средств наш язык уточняется, приобретает четность и определенность. Изучив основные понятия математической логики, можно описывать рассуждения, "вычислять" их результаты. Знание основных законов и методов математической логики способствует повышению общей культуры мышления, помогает приобрести навыки логически стройных рассуждений, отчетливых формулировок, кратной и корректной записи предложений и утверждений.

Теория множеств базируется на двух очень простых понятиях: на понятии множества и понятии элемента. Под множеством принято понимать любую совокупность объектов, которые по какой-либо причине необходимо сгруппировать вместе. Отдельные объекты, входящие в состав множества называются его элементами.

В математике употребляются следующие синонимы термина множество - система, класс, совокупность. Создатель теории множеств Георг Кантор давал следующее определение множества – «множество есть многое, мыслимое нами как целое».

Пример:

Множество Х и его элемент х находятся в отношении принадлежности: х Î Х. Эта запись расшифровывается так: элемент х принадлежит множеству Х, а множество Х содержит в себе элемент х.

Выделим из множества Х какую-нибудь часть его элементов. Эту выделенную часть можно трактовать как самостоятельное множество B. Тот факт, что B является частью Х, обозначают так: B Ì Х. При этом говорят, что B есть подмножество множества Х. Надо четко различать две записи х Î Х и B Ì Х.

Знак включения Ì связывает два множества, а знак принадлежности Î связывает множество с его элементом.

Составляя множество B, мы могли включить в него все элементы из Х. Тогда получится B = Х. Но даже в этом крайнем случае B можно трактовать как часть Х. То есть B Ì Х не исключает возможности совпадения B =Х.

Другой крайний случай B Ì Х возникает, когда B не содержит ни одного элемента. Такое множество называют пустым множеством и обозначают специальным значком B Æ Х. Пустое множество можно рассматривать как подмножество для любого множества Х, т. е. Æ Ì Х.

Пусть Х и B - два произвольных множества. Некоторые из элементов этих двух множеств могут быть общими: c Î Х и c Î B. Из таких элементов формируется отдельное множество C, которое называют пересечением множеств Х и B. Его обозначают так: C = Х Ç B. Если Х Ç B ≠Æ, то говорят, что множества Х и B пересекаются. Если же, наоборот, Х Ç B = Æ, то говорят, что эти множества не пересекаются.

Пусть вновь Х и B - два произвольных множества. Соберем в одно множество C все элементы из Х и B. Полученное множество в этом случае называют объединением множеств Х и B. Его обозначают так: C = Х È B.

Элементы, составляющие множество Х È B, разбиваются на три группы (на три подмножества). Это:

1. Элементы, принадлежащие множеству Х и множеству B одновременно;

2. Элементы, принадлежащие множеству Х, но не принадлежащие множеству B;

3. Элементы, принадлежащие множеству B, но не принадлежащие множеству Х.

Первая группа элементов составляет пересечение Х Ç B. Вторая группа элементов составляет множество, которое называют разностью множеств Х и B. Его обозначают Х \ B. Очевидно, что третья группа элементов, составляет множество, которое является разностью B \ Х. Множества Х Ç B, Х \ B и B \ Х не пересекаются друг с другом. При этом их объединение совпадает с объединением Х и B: Х È B = (Х Ç B) È (Х \ B) È (B \ Х).

В теории множеств существует такое понятие, как квантор. Кванторы – это некоторые логические понятия, с помощью которых детализируются логические рассуждения, например, условия. Существует два вида кванторов: квантор существования и квантор общности.

a) Квантор существования ()

читается - есть такой элемент

- хотя бы один

- найдется, по крайней мере, один

Например:;

- импликация (выполнить, сделать)

b) Квантор общности ()

читается - все те, которые

- для всех

- если все.

Форма – это некоторое утверждение об объекте (некоторое количественное высказывание);

- читается как - такой,

- такой который,

- такой что

Например:,

Главной задачей фундаментального образования является формирование научного способа мышления. Каждый грамотный специалист должен иметь представление об основных законах мышления и его формах, должен уметь логично рассуждать, мотивировать свои действия, уметь обосновать свои решения. Поэтому в электронный учебник вошли материалы, посвященные языку математической логики.