Задача. Рама состоит из двух одинаковых частей 
и 
, соединённых между собой шарниром 
. Рама находится в равновесии под действием распределённой нагрузки, изменяющейся по закону треугольника (
), двух сил 
и 
, приложенных в точках 
и 
, пары с моментом 
. Размеры указаны на рис. 66: 
; 
; 
; 
. Найти реакции опор 
и 
, а также реакцию шарнира .
Рис. 66.
Решение. Рассматривается равновесие рамы, состоящей из двух жёстких частей и . Шарниры и являются внешними связями, а шарнир – внутренней связью.
Решение задачи приведём двумя способами.
1. Рассмотрим равновесие всей рамы в целом, освободив её от внешних связей и и заменив их действия соответствующими реакциями.
Направления реакций шарнирно неподвижных опор и заранее неизвестны, поэтому их представляем составляющими 
, 
и 
, 
, направленными параллельно осям координат в сторону положительного отсчёта координат (рис. 67).
Распределённую нагрузку интенсивностью 
заменяем одной сосредоточенной силой 
(равнодействующей распределённых сил), проходящей через центр тяжести треугольника. По модулю 
. Согласно аксиоме отвердевания система сил , , , , , 
, 
, 
, действующих на раму, должна удовлетворять при её равновесии уравнениям равновесия твёрдого тела, хотя рама после освобождения от внешних связей (опор и ) и не является жёсткой конструкцией.
Рис. 67.
Рассматриваемая система сил является плоской, уравнения равновесия составим по второй форме, вычисляя моменты сил относительно точек и и проекции сил на ось 
. Тогда в каждое уравнение войдёт наименьшее число неизвестных реакций.
Для облегчения вычисления моментов силу разложим на её составляющие 
и 
, и воспользуемся теоремой Вариньона о моменте равнодействующей силы. Учитывая, что 
, 
, получим уравнения равновесия всей конструкции в целом:
(39)
(40)
(41)
Во избежание пропусков рекомендуется при составлении уравнений равновесия силы перебирать в определённом порядке, например, идя слева направо.
Из уравнения (40) можно найти реакцию 
, из уравнения (41) – реакцию 
. Уравнение (39) содержит два неизвестных 
и 
и не позволяет найти их значения, поэтому расчленим конструкцию по шарниру 
и рассмотрим дополнительно равновесие какой-либо одной части. Рекомендуется выбирать ту часть, к которой приложена наиболее простая система сил. В данной задаче удобнее рассматривать часть 
(рис. 68).
Рис. 68.
Отбрасываем вторую часть конструкции 
. Заменяем действие 
на первую часть конструкции соответствующей внутренней реакцией 
. Направление этой реакции, передаваемой через цилиндрический шарнир , неизвестно, поэтому изобразим её двумя составляющими 
и 
(рис. 68).
Уравнения равновесия части конструкции составим в первой форме:
(42)
(43)
(44)
В результате подстановки числовых данных в (39) – (44) получим систему шести независимых уравнений для определения шести неизвестных , , , , 
, 
:
(45)
(46)
(47)
(48)
(49)
(50)
Решая систему уравнений (45) – (50), находим:
В действительности силы 
, 
, 
направлены в стороны, противоположные показанным на рис. 67 и 68.
2. Решим эту же задачу вторым способом, расчленяя конструкцию на две части по шарниру 
и рассматривая равновесие каждой части в отдельности с учётом взаимодействия этих частей (рис. 68).
Уравнения равновесия части 
уже были составлены. Составим уравнения равновесия части 
в первой форме:
(51)
(52)
(53)
Заметим, что из векторного условия равенства действия и противодействия следует
и не следует, что 
Убрав штрихи при неизвестных в уравнениях (51) – (53) и подставив числовые данные, получим
(54)
(55)
(56)
Последняя система уравнений (54) – (56) совместно с уравнениями (48) – (50) образует систему шести независимых уравнений для определения шести неизвестных. Решение этой системы будет точно таким же, как и решение, полученное способом 1.
Выбор способа решения зависит от характера задачи и определяется сложностью системы уравнений равновесия. Если система уравнений, полученная способом 1, окажется сложной, можно попытаться применить способ 2 решения задачи.
2021-11-13
241
