Решение логарифмических уравнений

1 2

2. Решение логарифмических уравнений.

Пример 1. Решить уравнение log ₅(4 + x) = 2

Решение:

Первым действием будет нахождение ОДЗ.

ОДЗ: 4 + x > 0

х > – 4

Вторым действием решить данное уравнение на основании определения логарифма.

5²= 4 + x

x = 25 – 4

x = 21

Число 21 удовлетворяет ОДЗ (21 > – 4), значит 21 – корень исходного уравнения. Ответ: х = 21.

Перейдём к решению второго примера.

Пример 2. Решить уравнение log₅(2x + 3) = log₅(x + 1)

Решение:

Основания одинаковы и логарифмы двух выражений равны. Решать данное уравнение будем способом потенцирования, то есть из равенства логарифмов следует равенство их выражений:

log₅(2x + 3) = log₅(x + 1)

2x + 3 = x + 1

x = – 2.

Сделаем проверку:

log₅(2·(– 2) + 3) = log₅(– 2 + 1)

Получаем, что

log₅(–1) = log₅(–1)

Под знаком логарифма получили отрицательное число. Но мы знаем, что под знаком логарифма могут стоять только положительные числа. Так как область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел, то x = – 2 не является корнем данного уравнения.

Ответ: корней нет

Пример 3. Решить уравнение log₄(х+3) = log₄(4x – 15)

Решение:

log₄(х+3) = log₄(4x – 15)

х+3 = 4x – 15

3x = 18

x = 6

Делаем проверку:

log₄(6+3) = log₄(4·6 – 15)

log₄9 = log₄9

Получаем верное числовое равенство и под знаком логарифма – положительное число. Поэтому x = 6 является корнем данного уравнения и записываем ответ.

Ответ: x = 6

3. Решение логарифмических неравенств.

Пример 1: Решить неравенство:

Решение:

Согласно методике решения простейших логарифмичеких неравенств, первым действием необходимо уравнять основания логарифмов, в данном случае представить правую часть в виде логарифма с требуемым основанием:

Получаем неравенство:

Учтем ОДЗ: 5-2х>0

Х<2,5

Поскольку основание логарифма больше единицы (3>1), в эквивалентной системе знак неравенства сохранится:

Преобразуем:

с учётом ОДЗ имеем: х

Ответ: х

Пример 2:: Решить неравенство:

Решение:

Учтем ОДЗ:

из двух неравенств сильнее второе, выбираем его

ОДЗ:

Согласно свойству логарифма преобразуем в левой части сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения:

Нам известно, что число Пи больше единицы (). Поэтому в эквивалентном неравенстве знак исходного неравенства сохраняется:

Преобразуем полученное неравенство:

Решим квадратное уравнение =0, его корни . Отметим их на числовой прямой:

«+» «-» «+»

-2 1

Достаточно проверить знак одного интервала, так как функция является непрерывной, например, (-2;1). Возьмём х=0 и подставим в выражение , получим 0+0-2=-2<0. Знаки и интервалах чередуются. Нам по условию надо выбрать интервал со знаком «-», так как неравенство этого знака .

Интересующие нас значения находятся между корней уравнения: .