Задача 2. Задача 3. Список литературы

Задача 2

Задача 2. Определите скорость теплового движения молекул кислорода при температуре 20 ˚С.

Анализ условия. В задаче описан газ и идет речь о температуре и скорости движения его молекул. Мы связали температуру со средней кинетической энергией молекул (а значит, и скоростью), так что будем использовать эту связь. Там фигурирует средний квадрат скорости, и, если мы извлечем из него корень, получим среднюю квадратичную скорость молекул – ее и подразумевают под скоростью теплового движения.

Физическая часть решения задачи. Мы ввели температуру как величину, пропорциональную средней кинетической энергии частиц:

В этом уравнении неизвестна масса одной молекулы кислорода. Мы точно знаем массу 1 моль частиц – это молярная масса, для кислорода это . И мы знаем, что в 1 моль – молекул. Значит, масса одной молекулы равна:

Получили систему из двух уравнений, из которой осталось выразить скорость.

Сделаем это в математической части решения. Подставим массу одной молекулы из второго уравнения в первое:

Выразим среднюю квадратичную скорость:

Решение готово, но добавим еще одну деталь. Произведение двух констант встречается в уравнениях очень часто, потому его решили посчитать один раз, обозначить одной буквой и потом использовать готовое значение:

Эту величину назвали универсальной газовой постоянной. Тогда вычислений останется меньше:

Вычислим, переведя температуру в СИ: к 20 ˚С, чтобы перевести в кельвины, нужно прибавить 273:

Как видим, молекулы движутся с большими для привычного нам мира скоростями, это больше скорости звука в воздухе. А задача решена, ответ получен.

Основное уравнение МКТ. Решение задач

Мы сравнили молекулы и атомы вещества с бильярдными шарами. Мы знаем, чем отличается поведение частиц вещества в разных агрегатных состояниях, и бильярдные шары ведут себя как молекулы газа: они взаимодействуют друг с другом только во время столкновений, свободно перемещаются, расстояния между ними больше их самих. Это не значит, что к твердым телам и жидкостям неприменимо понятие температуры. Ее мы тоже ощущаем, измеряем и количественно связываем с кинетической энергией частиц. Да, частицы связаны между собой и не могут свободно перемещаться в пространстве, но тем не менее они находятся в движении, колеблются, сталкиваются с другими частицами при контакте. Но мы пока рассмотрим более простую модель:

· молекулы рассматриваем как материальные точки;

· силы притяжения между молекулами отсутствуют (то есть молекулы взаимодействуют друг с другом только в моменты столкновений, столкновения считаются упругими).

Такую модель назвали идеальным газом. Такого газа в реальности не существует, молекулы на самом деле обладают ненулевым размером и взаимодействуют друг с другом. Однако размеры молекул достаточно малы по сравнению с расстояниями между ними, а влияние сил притяжения достаточно мало, так что модель идеального газа описывает реальные газы с точностью, достаточной для решения многих задач.

Среди макропараметров, которыми мы описываем газ, с объемом все понятно. Плотность, концентрацию и т. д. мы ввели для удобства. С температурой разобрались. А что такое давление? По определению это сила на единицу площади. Но что создает эту силу?

Вот надули шарик. Что там происходит, почему он стал объемным? Что-то изнутри на него давит, сопротивляется нашему пальцу, если придавить снаружи. Ненадутый шарик не сопротивлялся – стенка шарика, сама резинка, не мешала сдавливать его как угодно. Значит, дело не в стенке, дело в воздухе, который внутри.

И как это объяснить? Нужно посмотреть на это с точки зрения модели МКТ: воздух состоит из молекул, они движутся, сталкиваются со стенкой шарика – вот и воздействие, та самая сила, которую мы рассчитали на единицу площади и получили давление (см. рис. 12).

Рис. 12. Давление молекул газа на стенки шарика

Представим это на примере бильярдного стола с шарами: шары бьются о борта и создают «давление». Только шаров не так уж много, и они толкают борт стола прерывисто, в моменты ударов. А представьте, сколько в воздушном шаре молекул воздуха, и при скоростях в сотни метров в секунду представьте, сколько происходит таких столкновений. Конечно, мы не можем различить эти столкновения, и на макроскопическом уровне это воспринимается как постоянное воздействие.

Как видите, многие законы можно понять на простом уровне, если применить модель, по которой вещество состоит из подвижных молекул. Мы поняли, как это происходит, это хорошо. Но нужно еще описать этот процесс математически.

Эта задача решается с помощью закона сохранения импульса. Давление – это сила, деленная на площадь (а точнее – перпендикулярная поверхности составляющая силы).

При упругом столкновении молекулы с поверхностью меняется импульс молекулы, изменение импульса равно импульсу силы: той самой силы взаимодействия молекулы и поверхности:

– это сила удара одной молекулы, и если за время произошло ударов, то все они в сумме создали силу :

(Удары не одинаковые, поэтому мы взяли среднюю силу одного удара (см. рис. 13).)

Рис. 13. Механика столкновения молекулы со стенкой сосуда

Эта задача решается, мы же запишем готовый конечный результат:

Это уравнение назвали основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа. Из этого уравнения понятно то, что мы немного раньше описали без математической записи: давление высокое, если частицы часто ударяются о стенки (а это происходит при высокой концентрации частиц ), и понятно, что частицы с большими массами и скоростями будут действовать сильнее.

Заметьте: масса частицы на квадрат скорости есть в формуле для кинетической энергии:

– это средняя кинетическая энергия молекул:

Подставим в уравнение:

Мы сегодня уже связали температуру со средней кинетической энергией молекул: . Подставим энергию, выраженную через температуру:

Именно для этого и нужен был коэффициент 3/2. В основном уравнении МКТ 1/3 возникла из-за того, что в трехмерном пространстве в давлении на данную поверхность играет роль только одно направление движения частиц из трех (x, y, z). Двойка появилась, потому что в формуле есть деление на 2. Все сократилось, и уравнением мы еще много будем пользоваться. Решим еще одну задачу в ответвлении. А на этом наш урок окончен, спасибо за внимание.

Задача 3

Задача 3. Идеальный газ оказывает на стенки сосуда давление, равное атмосферному. Тепловая скорость молекул равна 480 м/с. Найдите плотность газа.

Анализ условия. В задаче описан идеальный газ, говорится о его давлении (макропараметре) и тепловой скорости (микропараметре). Связь давления с тепловой скоростью описывается основным уравнением МКТ.

Физическая часть решения задачи. Запишем основное уравнение МКТ:

С давлением все понятно, атмосферное давление принимают приблизительно равным , скорость тоже известна, но у нас нет ни концентрации молекул, ни массы одной молекулы, и надо найти плотность. Запишем в виде формул, что означают эти определения. Плотность – это масса единицы объема: