Тема по геометрии за 11 класс «Призма»

Цель: - обобщить и систематизировать знания по теме «Призма».

1. Вопросы по теории (устно).

1. Среди изображенных тел, выберите те, которые

являются многогранниками. Какие из них являются призмами?

2.Покажите для призмы:

а) вершины б) основания в) грани г) ребра

3.Какие многогранники лежат в основании призмы? В каких плоскостях лежат основания призм?

4.Какими отрезками являются боковые ребра призмы?

5.Какими многоугольниками являются все грани параллелепипеда?

6.Сколько измерений у прямоугольного параллелепипеда?

7.Какие многоугольники являются основаниями и боковой гранью прямоугольной призмы (четырехугольной, пятиугольной)?Сколько граней у треугольной (четырехугольной, пятиугольной) призмы?

8.Из каких поверхностей состоит площадь боковой поверхности призмы, площадь полной поверхности призмы?

9.Запишите формулу для нахождения площади боковой и полной поверхности прямоугольного параллелепипеда.

10.Запищите формулу для нахождения диагонали прямоугольного параллелепипеда.

11. Запищите формулу для нахождения объема призмы.

2.Решение задач (записываем в тетрадь)

№1.Коллекционер заказал аквариум, имеющий форму правильной шестиугольной призмы. Сколько квадратных метров стекла необходимо для изготовления аквариума, если сторона основания 0,5 м, а высота 1,2 м? Ответ округлите до сотых.

1.Сначала найдём площадь основания.

Так как основание – правильный шестиугольник, то площадь основания найдём по формуле:

2. Найдём площадь боковой поверхности:

0,5∙1,2∙6= 3,6(м²)

3.Площадь полной поверхности найдём по формуле:

S=Sбок+Sосн=3,6+2∙0,6495=4,899(м²₎

Ответ:4,90 м².

№2. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 21см и 9 см и высотой 8 см. Найдите площадь боковой поверхности, если боковое ребро равно 10 см.

Дано: AD ∥ BC, AB = CD,

AD = 21см, BC = 9см, BH = 8 см,

АА₁ ⊥ АВС, АА₁ = 10 см.

Найти: S_бок

Решение:

Рассмотрим трапецию ABCD. ВН и CG – высоты трапеции. AD = 21см, BC = 9см. Так как трапеция ABСD равнобокая, то HG = BC = 9 см,

Рассмотрим треугольник ∆ АВН и найдем сторону АВ по теореме Пифагора:

Найдем периметр основания.

Применяем формулу для площади боковой поверхности:

Ответ: 500 см²

№3. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а, диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите:

а) диагональ призмы;

б) угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани;

в) площадь боковой поверхности призмы.

Дано: ABCD – квадрат,

АВ = а, АА₁ ⊥ АВС.

∠(АС₁, АВС) = 45°.

Найти:

а) АС₁;

б) ∠(АС₁, АD₁C₁);

в) S_бок

Решение:

а) ABCDA₁B₁C₁D₁ - правильная четырехугольная призма. Это означает, что в её основании лежит квадрат АВСD.

Сторона квадрата АВСD по условию равна а, тогда диагональ АС = а√2.

Угол между диагональю АС₁ и плоскостью основания ABC равен 45°. Угол между диагональю АС₁ и плоскостью основания ABC – это угол между прямой АС₁ и её проекцией на плоскость ABC, то есть угол С₁АС, значит, ∠ С₁АС = 45°. Так как треугольник С₁АС прямоугольный, то и угол АС₁С равен 45°. Значит, треугольник С₁АС – равнобедренный. Значит, СС₁ = АС = а√2.

Из прямоугольного треугольника АС₁С находим по теореме Пифагора АС₁.

Ответ: 2а.

б) Прямая С₁D₁ перпендикулярна всей плоскости АDD₁. Угол между прямой АС₁ и гранью АDD₁ - это угол между прямой АС₁ и её проекцией АD₁ на плоскость АDD₁. Значит, искомый угол - ∠ С₁АD₁.