2021-08-14
69
Школьной программы касается и схемы исследования функций. Известный с прошлого года перечень пунктов будет слегка дополнен, что позволит нам достаточно точно строить эскизы графиков не только функций, представляющих собой многочлены, но и успешно решать более сложные задачи.
Итак, схема исследования функции и построения графика:
1) найти область определения функции;
2) выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической[1];
3) найти точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений);
4) найти асимптоты графика функции;
5) найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы;
6) найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба;
7) при необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках;
8) построить эскиз графика функции, используя полученные результаты исследования.
Для реализации данной схемы нам необходимо научиться находить асимптоты и промежутки выпуклости.
Некоторые учителя дают этот материал в 10-11 классах, однако он не является обязательным для школьной программы, поэтому, скорее всего, для большинства студентов будет новым.
Асимптотой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат. Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
График функции у = f(x) при х 
a имеет вертикальную асимптоту, если 
= + 
или = − 
.
График функции y = f(x) при х + или при х − имеет горизонтальную асимптоту, если 
= b или 
= b 1. Возможны случаи, что либо только один из этих пределов конечный, либо ни одного, тогда график имеет или одну горизонтальную асимптоту, или ни одной.
Если график функции у = f(x) имеет наклонную асимптоту у = kx + b, то k = 
, b = 
.
Обращаем внимание на то, что при вычислении этих пределов следует рассматривать отдельно случаих + их − .
Кривая у = f(x) называется вогнутой в промежутке 
, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.
Кривая у = f(x) называется выпуклой в промежутке , если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.
В некоторых источниках термин «вогнутость» не употребляется, кривые классифицируются как выпуклые вверх и выпуклые вниз.
Выпуклость или вогнутость кривой, являющейся графиком функции у = f(x), характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке 
, то кривая вогнутая; если 
, то кривая выпуклая.
Точки, разделяющие области выпуклости и вогнутости, называются точками перегиба. В этих точках вторая производная равна нулю или не существует.
[1] В нашем курсе периодичность мы определяем только для тригонометрических функций.
