Системы линейных уравнений и линейные пространства

План лекций по курсу «Высшая математика, Ч.1»: Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии

1. Системы линейных уравнений и линейные пространства

Лекция 1. Системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений. Метод Гаусса.

[1]: §1.1, п. 1 – 3, §2.1, §2.2, п. 1, 2.

Лекция 2. Пространство строк R ⁿ

Скалярное произведение векторов, его основные свойства.

Арифметические векторы и линейные операции над ними (сложение, умножение на скаляр). Пространство R ⁿ.

Геометрический смысл пространств R² и R³.

Линейная зависимость системы векторов. Базис и ранг системы векторов.

Базис пространства R ⁿ. Координаты вектора относительно базиса.

[1]: §1.2, п. 1. [1]: §1.3, п. 1– 4; §1.4, п. 1, 2.

Лекция 3. Евклидово пространство R ⁿ

Скалярное произведение векторов, его основные свойства.

Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника.

Ортогональный и ортонормированный базис вR ⁿ.

Разложение векторов в ортогональном базисе.

 [1]: §1.5, п. 1- 4.

2. Матрицы и определители

Лекция 4. Матрицы и системы линейных уравнений

Матрицы и линейные действия над ними. Ранг матрицы.

Однородные системы линейных уравнений. ФСР.

Связь между решениями неоднородной и соответствующей однородной системами линейных уравнений.

[1]: §2.1, §1.1, п. 1 – 3, §2.2, п. 1, 2.

Лекция 5. Определители

Определители второго, третьего и n -го порядков, их свойства.

Разложение определителя по строке (столбцу). Формула Лапласса.

Критерий невырожденности квадратной матрицей.

Критерий существования ненулевого решения однородной системы с квадратной матрицей.

[1]: §2.3, п. 1 – 4, §2.4, п. 4, 7.

Лекция 6. Обратная матрица

Обратная матрица и способы ее нахождения.

Решение матричного уравнения АХ = В.

Решение систем n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными по правилу Крамера.

Формула обращения матрицы.

[1]: §2.4, п. 1 – 3, 5 – 7.