Понятие размерности и ее расчет
В своей повседневной жизни мы постоянно встречаемся с размерностями. Мы прикидываем длину дороги, узнаем площадь квартиры и т.д. Это понятие вполне интуитивно ясно и, казалось бы, не требует разъяснения. Линия имеет размерность 1. Это означает, что, выбрав точку отсчета, мы можем любую точку на этой линии определить с помощью 1 числа – положительного или отрицательного. Причем это касается всех линий – окружность, квадрат, парабола и т.д.
Размерность 2 означает, что любую точку мы можем однозначно определить двумя числами. Не надо думать, что двумерный – значит плоский. Поверхность сферы тоже двумерна (ее можно определить с помощью двух значений – углов наподобие ширины и долготы).
Если смотреть с математической точки зрения, то размерность определяется следующим образом: для одномерных объектов – увеличение в два раза их линейного размера приводит к увеличению размеров (в данном случае длинны) в два раза (2^1).
Для двумерных объектов увеличение в два раза линейных размеров приводит к увеличению размера (например, площадь прямоугольника) в четыре раза (2^2).
|
|
Для 3–х мерных объектов увеличение линейных размеров в два раза приводи к увеличению объема в восемь раз (2^3) и так далее.
Таким образом, размерность D можно рассчитать исходя из зависимости увеличения «размера» объекта S от увеличения линейных размеров L. D=log(S)/log(L). Для линии D=log(2)/log(2)=1. Для плоскости D=log(4)/log(2)=2. Для объема D=log(8)/log(2)=3.
Рассчитаем размерность для кривой Пеано. Исходная линия, состоящая из трех отрезков длинны Х, заменяется на 9 отрезков втрое меньшей длинны. Таким образом, при увеличении минимального отрезка в 3 раза длина всей линии увеличивается в 9 раз и D=log(9)/log(3)=2 – двумерный объект.
Когда размерность фигуры получаемой из каких–то простейших объектов (отрезков) больше размерности этих объектов – мы имеем дело с фракталом.
Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется «затравка» – аксиома – набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой «затравке» применяют набор правил, который преобразует ее в какую–либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем бесконечное количество преобразований – получим геометрический фрактал.
Рассмотренная ранее кривая Пеано является геометрическим фракталом. На рис. ниже приведены другие примеры геометрических фракталов (слева направо Снежинка Коха, Лист, Треугольник Серпинского).
|
|
Рис. Снежинка Коха
Рис. Лист
Рис. Треугольник Серпинского
Из этих геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является – снежинка Коха. Строится она на основе равностороннего треугольника. Каждая линия которого заменяется на 4 линии каждая длинной в 1/3 исходной. Таким образом, с каждой итерацией длинна кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций – получим фрактал – снежинку Коха бесконечной длинны. Получается, что наша бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь.
Размерность снежинки Коха (при увеличении снежинки в 3 раза ее длина возрастает в 4 раза) D=log(4)/log(3)=1.2619...
Для построения геометрических фракталов хорошо приспособлены так называемые L–Systems. Суть этих систем состоит в том, что имеется определенных набор символов системы, каждый из которых обозначает определенное действие и набор правил преобразования символов.