Лекция №5. Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием приложенных к ним сил

Динамика

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием приложенных к ним сил.

Движение тела зависит как от действующих на него сил, которые могут быть переменными, так и от свойств самого движущегося тела (от его массы, размеров, формы, упругости и т.д.)

Изучать динамику начнем с динамики материальной точки.

Материальная точка – тело, размерами которого можно пренебречь.

Сила – мера механического взаимодействия между телами.

Законы Ньютона о движении точки справедливы по отношению к так называемым инерциальным системам отсчета. С большей степенью точности инерциальной можно считать систему отсчета, начало которой находится в центре Солнца, а оси направлены на так называемые неподвижные звезды. При решении технических задач (большенства) инерциальной можно считать систему отсчета, жестко связанной с Землей.

Основные законы динамики

1) Закон инерции (первый закон динамики).

Если на материальную точку не действуют никакие силы или действуют уравновешанные силы, то она находится в покое или движется прямолинейно и равномерно.

Свойство сохранения скорости точки при отсутствии внешних воздействий называется инерцией, а движение точки при этих условиях – движением по инерции.

В сохранении движения материальной точки при условии, что , проявляется свойствоинертности тела. Это внутреннее свойство всех материальных тел, выражающее их материальность. Количественной мерой инертности материальной точки является ее масса.

2) Закон прапорциональности сил и ускорения.

Ускорение материальной точки прапорционально приложенной к ней силе и имеет с ней одинаковое направление.

– сила тяжести (вес мат. Точки)

– ускорение свободного падения

1) Закон равенства действия и противодействия.

Силы с которыми взаимодействуют два материальных тела равны по величине и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

или

2) Закон (принцип) независимости действия сил.

Если на материальную точку действует несколько сил, то ускорение точки от действия этих сил равно геометрической сумме ускорений, сообщаемых точке каждой силой

Дифференциальные уравнения движения материальной точки

(1)

1) Уравнения в декартовых координатах.

Проектируя обе части уравнения (1) на оси X, Y, Z, получим:

или

2) Уравнения в проекциях на оси естественного трехгранника ( )

касательная к траектории

главная нормаль, направленная в сторону вогнутости траектории.

бинормаль.

; ; ab = 0;

Основные задачи динамики.

1. Первая задача динамики.

По заданному движению и известной массе материальной точки определить силу, действующую на эту точку, или, если на материальнуюточку действует несколько сил – определить одну из них

Дано:

X, Y, Z – инерциальная с.о

m – масса точки.

X = X(t) уравнения

Y = Y(t) движения

Z = Z(t) точки

Определить: R-?

2. Вторая задача динамики

По заданным силам, приложенным к движущейся материальной точке, массе этой точки и начальным условиям ее движения (начальному положению и начальной скорости), требуется определить движение этой точки.

Рассмотрим решение этой задачи в прямоугольной декартовой системе координат.

В общем случае силы, действующие на точку, а следовательно и их проекции могут зависеть от времени, от координат движущейся точки, от ее скорости. Поэтому в ообщем случае решением второй задачи динамики приводится к интегрированию 3 дифференциальных уравнений 2-го порядка относительно неизвестных X,Y,Z;

При интегрировании этих трех уравнений появлюются шесть постоянных интегрирования и общее решение уравнения имеет вид:

Для того, чтобы определить постоянные интегрирования нужно дополнительно задать условия, обычно это начальные условия, т.е. в определенный момент времени задают координаты движущейся точки и проекции ее скорости