Простой категорический силлогизм

Таблица 11

	S	P
SaP	+	-
SeP	+	+
SiP	-	-
SoP	-	+

Таким образом, распределенными являются субъекты общих и предикаты отрицательных высказываний, а нераспределенными – субъекты частных и предикаты утвердительных высказываний (за некоторыми исключениями).

Отношения между схемами атрибутивных высказываний

Между схемами SaP, SeP, SiP, SoP с одними и теми же терминами (и, следовательно, между самими высказываниями, соответствующими этим схемам), возможны следующие отношения: отношение противоречия (контрадикторности); отношение противности (контрарности); отношение частичной совместимости (подпротивности, подконтрарности); отношение подчинения (следования).

Эти отношения принято изображать в виде особой диаграммы, которая называется логическим квадратом. Его стороны и диагонали указывают на соответствующие отношения.

Определения указанных отношений идентичны данным в главе «Высказывания». Они лишь конкретизируются относительно атрибутивных высказываний.

Итак, две схемы находятся в отношении противоречия, если и только если соответствующие им высказывания не могут быть ни одновременно истинными, ни одновременно ложными. Это отношение имеет место между схемами общеутвердительных (SaP) и частноотрицательных (SoP) высказываний, а также между схемами общеотрицательных (SeP) и частноутвердительных (SiP) высказываний: «Все S суть P» – «Некоторые S не суть P»; «Ни одно S не есть P» – «Некоторые S суть P». Если общеутвердительное высказывание (SаP) «Каждая планета солнечной системы движется по эллипсу» является истинным, то противоречащее ему частноотрицательное высказывание (SoP) «Существует планета солнечной системы, не движущаяся по эллипсу» является ложным. Если общеутвердительное высказывание (SaP) «Все студенты нашей группы обладают хорошими музыкальными способностями» ложное, то противоречащее ему частноотрицательное высказывание (SoP) является истинным, и наоборот. Точно также противоречат друг другу истинное частноутвердительное высказывание (SiP) «Некоторые слова пишутся с большой буквы» и ложное общеотрицательное (SeP) «Ни одно слово не пишется с большой буквы».

Две схемы находятся в отношениипротивности, если и только если соответствующие им высказывания не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Это отношение имеет место между схемами общеутвердительных (SaP) и общеотрицательных высказываний (SeP): «Все S суть P» – «Ни одно S не есть P». Например, общеутвердительное высказывание (SaP) «Все рабочие этого завода – рационализаторы» и общеотрицательное высказывание (SeP) «Ни один рабочий этого завода не является рационализатором» имеют схемы, находящиеся в отношении противности: эти высказывания не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Последнее имеет место, когда в рационализаторском движении участвуют некоторые рабочие этого завода.

Две схемы находятся в отношенииподпротивности (частичной совместимости), если и только если им соответствуют высказывания, которые могут быть вместе истинными, но не могут быть одновременно ложными. В отношении подпротивности находятся схемы частноутвердительных (SiP) и частноотрицательных (SoP) высказываний: «Некоторые S суть P» – «Некоторые S не суть P». Так, высказывание «Некоторые рабочие этого завода – рационализаторы» (SiP) и «Некоторые рабочие этого завода не являются рационализаторами» (SоP) могут быть вместе истинными. Но если ложно первое из них, то второе ложным быть не может, оно с необходимостью истинно.

Две схемы находятся в отношенииподчинения (первая подчиняет вторую, или из первой следует вторая), если и только если всякий раз, когда первой соответствует истинное высказывание, второй также соответствует истинное высказывание, но не обязательно наоборот. В отношении подчинения находятся схемы общеутвердительных (SaP) и частноутвердительных (SiP) высказываний, с одной стороны (из схемы «Все S суть P» следует схема «Некоторые S суть P») и схемы общеотрицательных (SеP) и частноотрицательных (SoP) высказываний, с другой стороны (из схемы «Ни одно S не есть P» следует схема «Некоторые S не суть P»). Так, если истинно, что «Все рабочие этого завода – рационализаторы» (SаP), то истинным будет и высказывание «Некоторые рабочие этого завода – рационализаторы» (SiP). Однако истинность высказывания «Некоторые рабочие этого завода – рационализаторы» не обязательно сопровождается истинностью высказывания «Все рабочие этого завода – рационализаторы».

Если же высказывание подчиненной схемы ложно, то ложным является и высказывание схемы подчиняющей. Например, при ложности высказывания «Некоторые его не поняли» (SoP), ложным является и подчиняющее его высказывание «Никто его не понял» (SeP). Обратное же вовсе не обязательно. Например, ложность высказывания «Все металлы тяжелее воды» (SaP) не означает ложности высказывания «Некоторые металлы тяжелее воды» (SiP), последнее является истинным.

Упражнения:

1. Тождественны ли следующие высказывания по качеству: «Это рассуждение не является правильным» и «Это рассуждение является неправильным»?

2. Установите количество следующих атрибутивных высказываний:

a) Древние финикийцы основали город Карфаген;

b) Большинство наблюдений подтвердило это предположение;

c) Никто его не любит;

d) Жизнь – это способ существования белковых тел;

e) В любой библиотеке есть книги, к которым обращаются очень редко;

f) Среди диких растений флоры нашей страны есть такие, что представляют большую ценность для медицины;

g) Многие выдающиеся математики не приняли неевклидовой геометрии;

h) «Египтяне, принадлежавшие к храмову округу мендеса, не употребляют в пищу козьего мяса» (Геродот. История).

3. Выделите субъект, предикат и связку в высказываниях из упр.2.

4. Приведите следующие высказывания к одной из четырех форм SaP, SeP, SiP, SoP:

a) Имеются приборы, преобразующие ультразвук в звук, слышимый человеком;

b) Противники материалистического мировоззрения утверждают, что мир непознаваем;

c) Некоторые проблемы человеческой истории до сих пор не решены;

d) «Ни один ученый не мыслит формулами» (А.Эйнштейн).

5. Образуйте истинные высказывания форм SaP, SeP, SiP, SoP из следующих пар имен:

a) Крупный промышленный центр (S), город республиканского подчинения (P);

b) Эллипс (S), коническое сечение (P);

c) Коническое сечение (S), эллипс (P);

d) Планета Солнечной системы (S), тело, движущееся по круговой орбите (P).

6. Из следующих пар имен составьте высказывания форм SaP, SeP, SiP, SoP (в скобках указаны функции имен в будущих высказываниях и их распределенность):

a) Крестьянское восстание (субъект, распределен), восстание, закончившееся победой (предикат, распределен);

b) Русский феодал (субъект, не распределен), сторонник реформ Петра I (предикат, распределен);

c) Комета (субъект, не распределен), тело Солнечной системы (предикат, не распределен);

d) Звезда (субъект, распределен), мощный источник радиоизлучений (предикат, не распределен).

7. Установите логические отношения между высказываниями в следующих парах:

a) Каждый школьник умеет строить квадрат, равновеликий данному прямоугольнику; некоторые школьники не умеют строить квадрат, равновеликий данному прямоугольнику;

b) Ни один ученик не умеет строить квадрат, равновеликий данному прямоугольнику; некоторые ученики не умеют строить квадрат, равновеликий данному прямоугольнику;

c) Некоторые математики пытались решить проблему «квадратуры круга»; некоторые математики не пытались решить проблему «квадратуры круга»;

d) Ни одна математическая проблема не приобрела такой популярности, как проблема «квадратуры круга»; существуют математические проблемы, которые приобрели такую же популярность, как проблема «квадратуры круга»;

e) Все усилия решить проблему «квадратуры круга» бесполезны; ни одно усилие решить проблему «квадратуры круга» не бесполезно;

f) Все математики, стремящиеся к решению проблемы «квадратуры круга», уверены в успехе; некоторые математики, стремящиеся к решению проблемы «квадратуры круга», уверены в успехе.

8. Установить распределенность терминов в высказываниях из упр.7.

9. Допустим, что первые высказывания пар из упр.7 являются истинными. Что можно сказать о логическом значении каждого из вторых высказываний?

10. Допустим, что первые высказывания пар из упр.7 являются ложными. Что можно сказать о логическом значении каждого из вторых высказываний?

11. Допустим, что вторые высказывания пар из упр.7 являются истинными. Что можно сказать о логическом значении каждого из первых высказываний?

12. Допустим, что вторые высказывания пар из упр.7 являются ложными. Что можно сказать о логическом значении каждого из первых высказываний?

13. Если высказывание «Некоторые студенты не сдали зачет» ложно, то правильны ли следующие выводы:

a) Некоторые студенты не сдали зачет. Следовательно, некоторые студенты сдали зачет.

b) Некоторые студенты сдали зачет. Следовательно, некоторые студенты не сдали зачет.

Непосредственные силлогистические выводы

Cиллогистика – это теория дедуктивного вывода, построенного на основе высказываний вида SaP, SeP, SiP, SoP. Выводы в силлогистике подразделяются на непосредственные и опосредованные. Они отличаются друг от друга по числу посылок, из которых получается заключение.

Вывод, в котором заключение получается из одной посылки, называется непосредственным. К непосредственным: вывод по логическому квадрату, обверсия, конверсия, контрапозиция.

Руководствуясь отношениями, фиксируемые диаграммой, которая называется логическим квадратом, можно сформулировать следующие правила вывода:

а) в соответствии с отношением противоречия:

б) в соответствии с отношением противности:

в) в соответствии с отношением частичной совместимости:

г) в соответствии с отношением подчинения (следования):

В качестве иллюстраций к этим правилам можно воспользоваться примерами из предыдущего параграфа.

Обверсия (лат. – превращение) – непосредственный вывод, в процессе которого предикат посылки заменяется на противоречащее ему имя (т.е. дополняющее его) и изменяется ее качество, т.е. утвердительная посылка заменяется на отрицательную и наоборот. При этом могут быть использованы следующие правила:

Например, из истинного высказывания «Все металлы электропроводны» (SaP) путем обверсии можно получить высказывание «Ни один металл не является неэлектропроводным» (Se Р¢), из истинного высказывания «Некоторые спортсмены выносливы» (SiP) можно получить высказывание «Некоторые спортсмены не являются невыносливыми» (SоP ¢), и т.д.

Путем обверсии знание об отношении S к P обогащается знанием отношения S к имени, противоречащим P, или дополняющим P, что в ряде случаев позволяет более точно и однозначно понимать выражаемые мысли.

Конверсия (лат. – обращение) – непосредственный вывод, в заключении которого субъектом является предикат, а предикатом – субъект исходного высказывания-посылки. Это означает, что при конверсии происходит преобразование атрибутивных высказываний путем перестановки S и P местами. Качество посылки при этом остается неизменным.

Правила конверсии:

Первые из двух правил называются правилами конверсии обычной, или конверсией без ограничения, при которой происходит преобразование общей посылки в общее заключение и преобразование частной посылки в частное заключение. Например: «Ни одна планета не светит собственным светом (SeP), следовательно, ни одно тело, светящееся собственным светом, не есть планета (PeS)»; «Некоторые европейские государства являются королевствами (SiP), следовательно, некоторые королевства являются европейскими государствами (PiS)».

Вывод по третьему правилу называется конверсией с ограничением, поскольку здесь общая посылка преобразуется в частное заключение. Например: «Все студенты – учащиеся (SaP), следовательно, некоторые учащиеся – студенты (PiS)».

Как видим, конверсия применяется к высказываниям вида SaP, SeP и SiP. К высказываниям вида SoP в разговорных процессах конверсия не применяется, поскольку получающаяся конструкция имеет явно искусственный характер и может вести от истинной посылки к ложному заключению (например, «Некоторые птицы не являются певчими, следовательно, ни одна певчая птица не является некоторой (а может быть, и всякой) птицей»).

Контрапозиция (лат. – противопоставление) являются операцией, производной от обверсии и конверсии. При полной контрапозиции заключение имеет то же качество, что и посылки. Частичная контрапозиция ведет к заключению, качество которого отлично от качества посылки.

Частичная контрапозиция – вывод, при котором в заключении субъект выражается именем, противоречащим предикату посылки (дополняющим его), а на место предиката становится ее субъект; при этом посылка изменяет свое качество. Частичную контрапозицию можно осуществить путем последовательного применения превращения и обращения. Так, исходное высказывание «Все жидкости упруги» сначала превращается в высказывание «Ни одна жидкость не является неупругой». Затем путем обращения последнего получается высказывание «Ни одно неупругое тело не есть жидкость». Это и есть заключение частичной контрапозиции, дающей дополнительное знание об отношении не-P к S. Высказывание вида SiP посредством контрапозиции не преобразуется.

Правила частичной контрапозиции:

Полная контрапозиция – вывод, при котором в заключении субъект выражается именем, противоречащим предикату посылки, а предикат – именем, противоречащим субъекту посылки; при этом качество заключения не изменяется.

Полную контрапозицию можно осуществить, применив к результату, полученному при частичной контрапозиции, правило обверсии. Так, в предыдущем примере мы получили заключение «Ни одно неупругое тело не есть жидкость». Применив к нему правило обверсии:

мы, таким образом, произведем полную контрапозицию и получим заключение «Всякое неупругое тело суть не жидкость».

Правила полной контрапозиции:

.

Таким образом, если превращение и обращение служат раскрытию свойств S и P, то контрапозиция – свойств их дополнений S ¢ и P¢.

В непосредственных выводах необходимо соблюдать следующее правило: термин, не распределенный в посылке, не может быть распределен в заключении. Поэтому из высказываний вида SaP при обращении выводится высказывание вида PiS, а не PaS. Ошибка, возможная как результат нарушения этого правила, называется «незаконное расширение термина». Термин же, распределенный в посылке, может оказаться нераспределенным в заключении, как это имеет место, например, в выводах по логическому квадрату при переходе от общих к частным высказываниям того же качества.

Упражнения:

1. Докажите производность правил контрапозиции (полного и частичного).

2. Произведите обверсию следующих высказываний:

a) Все судьи – юристы;

b) Некоторые государства не проводят независимую внешнюю политику;

c) Некоторые предприятия являются негосударственными;

d) Пауки не являются насекомыми.

3. Произведите конверсию следующих высказываний:

a) Ни одно насекомое не имеет более трех пар ног;

b) Некоторые существительные – слова, изменяющиеся по падежам;

c) Все неисследованное пленяет воображение.

4. Выведите заключение путем полной контрапозиции из следующих посылок:

a) Вcе философские произведения – мировоззренческие;

b) Некоторые государственные предприятия не являются рентабельными;

c) Все справедливые благородны;

d) Ни один мужественный не боязлив.

5. Кто был неправ в следующем диалоге? Какая логическая ошибка им допущена?

«– Так бы и сказала, – заметил мартовский Заяц. – Нужно всегда говорить то, что думаешь.

– Я так и делаю, – поспешила объяснить Алиса. – По крайней мере, я всегда думаю то, что говорю...а это одно и то же.

– Совсем не одно и то же, – возразил Болванщик. – Так ты, чего доброго, скажешь, будто «Я вижу то, что ем» и «Я ем то, что вижу», – одно и тоже» (Л.Кэрролл. Приключения Алисы в Стране чудес).

6. Можно ли произвести конверсию следующего высказывания: «Некоторые государства не проводят независимую внешнюю политику»?

7. Можно ли осуществить контрапозицию высказывания «Некоторые спортивные судьи - юристы»?

8. Какое правило нарушено в следующем рассуждении: «Все гениальное просто, следовательно, все простое гениально»?

9. Какое из следующих высказываний противоречит высказыванию “Всякая взятка – преступление»:

a) Ни одна взятка не есть преступление;

b) Всякая взятка – плата за услугу;

c) Некоторые взятки – преступления;

d) Всякая взятка – прибавка к зарплате.

10. Правильным ли является рассуждение: «Если истинно, что кто-то есть человек и нечеловек, то ясно, что истинно также то, что он не есть ни человек, ни не человек» (Аристотель).

Опосредованные силлогистические выводы

Вывод, в котором заключение получается из двух или более посылок, называется опосредованным. Важнейшей формой опосредованного вывода является простой категорический силлогизм (от греч. Sillogismo – сосчитывание) - вывод, в котором из двух высказываний форм SaP, SeP, SiP или SoP, связанных общим термином, делается заключение также одной из этих форм.

Например:

Все ромбы – параллелограммы.

Все квадраты – ромбы.

---------------------------------------------------

Все квадраты – параллелограммы.

В структуре простого категорического силлогизма выделяется три термина: меньший, средний и больший. Термин, соответствующий субъекту заключения, называется меньшим термином (в нашем примере – «квадраты»). Термин, соответствующий предикату заключения, называется большим термином («параллелограммы »). Меньший и больший термины называются крайними терминами, они обозначаются соответственно буквами S и P.

Общий термин, присутствующий в обеих посылках, но отсутствующий в заключении, называется средним. Его принято обозначать буквой M (лат. Medio – средний). В нашем примере роль среднего термина выполняет имя «ромбы». Он выступает связующим звеном между крайними терминами, благодаря ему делается возможным то, что утверждается или отрицается в заключении.

Посылка, в которой находится меньший термин, называется меньшей посылкой. Посылка, в которой находится больший термин, называется большей. В нашем примере меньшей посылкой является высказывание «Все квадраты – ромбы», а большей – «Все ромбы – параллелограммы». Устанавливая посылки – большую и меньшую, – нужно руководствоваться только данными определениями.

Запись, при которой на первом месте стоит большая посылка, на втором – меньшая и далее - заключение называется стандартной записью простого категорического силлогизма. В обычной речи она встречается не так часто. Например, в силлогизме «Данное деяние не преступление, поскольку оно не осуждается общественностью, а все преступления осуждаются общественностью» высказывания, являющиеся элементами его структуры, расположены в порядке, обратном стандартной записи.

Между посылками и заключением правильного силлогизма имеет место отношение следования, то есть не бывает так, что посылки истинны, а заключение ложно. Связь между S и P в заключении устанавливается однозначно и необходимым образом благодаря схеме, в которой воплощено содержательное рассуждение.

Рассмотрим это на нашем примере. Приведенное рассуждение имеет форму:

MaP

SaM

---------

SaP

B ней отношение терминов может быть проинтерпретировано с помощью кругов Эйлера как отношение между объемами имен S, M и P (рис.27). Очевидно, что если M подчинено P, а S подчинено M, то S с необходимостью будет подчинено P, и мы должны признать, что все S суть P. Значит, заключение «Все квадраты – параллелограммы» следует из заданных посылок.

Иначе обстоит дело при посылках: «Фашисты были против порнографии» и «Участники движения «Идущие вместе» против порнографии».

Обозначив через S, M и P соответственно термины «Участники движения «Идущие вместе», «выступающие против порнографии» и «фашисты», мы получим их формы PаM и SаM. В них как P, так и S подчинены M, но отношение между S и P однозначно установить не удается. При таком отношении крайних терминов к среднему можно получить несовместимые схемы (например, SаP и SеP), которые, как известно, соотносятся с высказываниями, не могущими быть одновременно истинными, одно из них непременно ложно (рис.28).

Итак, при истинных посылках форм PаM и SаM, можно получить ложное заключение, что противоречит законам логики. Это означает, что, например, вывод, который однажды навязывался зрителям одним из ведущих российского телевидения:

Фашисты были против порнографии.

Участники движения «Идущие вместе» против порнографии.

-------------------------------------------------------------------------

Участники движения «Идущие вместе» – фашисты.

не является правильным. Как видим, построение круговых схем – удобный способ отбора правильных категорических силлогизмов.