Особенности векторных пространств над конечным полем GF(2). Линейный групповой код

Одним из подходов к регулярному построению кодов является применение в качестве кодовых множеств линейных подпространств [29], [33], [34]. Одно из преимуществ такого подхода заключается в хорошо изученной структуре подпространств линейных векторных пространств.

Для построения кодов, обнаруживающих и исправляющих ошибки, используются векторные пространства над конечным полем [32]. В этом случае множество (-мерный куб) рассматривается как линейное векторное пространство над конечным полем . Точки из становятся векторами, их можно складывать и умножать на числа из поля .

Специфика некоторых понятий линейной алгебры в векторном пространстве является следствием особенностей поля . Сложение векторов из производится покоординатно с учетом особенностей операции сложения в поле .

Сложение и умножение в поле определяется следующими таблицами.

Таблица сложения
Таблица умножения

Сложение в поле (сложение по модулю 2) часто обозначается . Этим же знаком будем обозначать сложение векторов из . Следует отметить справедливое для всех векторов равенство , вытекающее из таблицы сложения. Оно означает, что любой вектор является противоположным себе , а также что при заданных и ( уравнение имеет решение .

Рассмотрим особенности еще некоторых понятий линейной алгебры.

Линейная комбинация в . Учитывая, что рассматривается как векторное пространство над конечным полем , содержащим только два элемента 0 и 1, линейная комбинация в превращается в сумму векторов

Линейная оболочка множества векторов из - это совокупность различных сумм этих векторов. Линейная оболочка векторов будет обозначаться через .

Линейная зависимость векторов из . Векторы линейно зависимы, если существует сумма некоторых из них, равная 0.

Векторы линейно независимы, если любая сумма некоторых из них не равна 0.

Утверждение. Если векторы независимы, то все их линейные комбинации (суммы) различны.

Доказательство. Предположим, что Удалив из левой и правой частей этого равенства одинаковые векторы и перенеся оставшиеся из правой части в левую, получим нулевую сумму векторов. Это противоречит их линейной независимости.

Всего из линейно независимых векторов можно составить

линейных комбинаций, и все они различны.

Из доказанного утверждения следует, что линейная оболочка линейно независимых векторов содержит вектора.

Рассмотрим пример. Пусть имеем два вектора

Их линейная оболочка состоит из четырех векторов На традиционном изображении в виде точек куба образуют плоскость (увеличенные светлые вершины куба на рисунке).

Подпространства в . Подпространством векторного пространства называется подмножество векторов из , замкнутое относительно операций сложения и умножения на число из поля . Линейная оболочка векторов уявляется подпространством пространства .

Например, рассмотренная в предыдущем примере линейная оболочка из четырех векторов является подпространством, а множество векторов

подпространством не является, поскольку оно не замкнуто относительно операции сложения. Например, не входит в это множество векторов.

По аналогии с подпространствами в подпространства в могут задаваться системами линейных уравнений (но над полем ). Именно таким образом далее будет задаваться линейный групповой код.

Нормой вектора называется число единичных координат этого вектора. В кодировании норму вектора называют также весом этого вектора. С помощью нормы вектора и операции сложения векторов в (операции покоординатного сложения по ) выражение для расстояния Хеминга может быть записано в виде

Кодовое расстояние линейного кода может быть вычислено проще, чем кодовое расстояние произвольного кода. Учитывая, что для слов линейного кода справедливо , выполняется следующая цепочка равенств

Определение. Пусть - матрица над полем размера и ранга . Множество решений уравнения называется линейным кодом. - проверочная матрица, - длина кода, - размерность кода. Если матрица имеет вид , где - единичная матрица порядка , то код называется систематическим.