Представление числовой информации в компьютере

Арифметические основы ЭВМ

В компьютерах используются три вида чисел: с фиксированной точкой (запятой), с плавающей точкой (запятой) и двоично-десятичное представление. Точка (запятая) - это подразумеваемая граница целой и дробной частей числа, разряды и формулы (4.1).

Все современные компьютеры имеют центральный процессор или центральное процессорное устройство - CPU (Central Processing Unit), предназначенное для обработки чисел с фиксированной точкой. Одной из важнейших его характеристик является разрядность - количество двоичных разрядов, представляющих значение числа. Основным достоинством CPU служит простота алгоритмов выполнения операций и, соответственно, высокая скорость операций.

У чисел с фиксированной точкой в двоичном формате предполагается строго определенное место точки (запятой). Обычно это место определяется или перед первой цифрой числа, или после последней цифры числа. Если точка фиксируется перед первой значащей цифрой, то это означает, что число по модулю меньше единицы. Диапазон изменения значений чисел определяется неравенством:

Если точка фиксируется после последней цифры, то это означает, что -разрядные двоичные числа являются целыми. Диапазон изменения их значений составляет:

Перед самым старшим из возможных цифровых разрядов двоичного числа фиксируется его знак. Положительные числа имеют нулевое значение знакового разряда, отрицательные - единичные. Каждая цифра двоичного числа занимает один бит соответствующего -разрядного формата.

Существенным недостатком представления чисел с фиксированной точкой служит тот факт, что аппроксимация малых чисел связана с большой относительной ошибкой. Для чисел же, приближающихся по величине к максимально возможным (), относительная ошибка уменьшается. Абсолютная же ошибка представления чисел с фиксированной точкой всегда лежит в одних и тех же пределах независимо от величины чисел.

Другой формой представления чисел является представление их в виде чисел с плавающей точкой (запятой). Представление чисел с плавающей точкой необходимо использовать, когда обрабатываемые числа имеют очень большой диапазон изменения. Эта ситуация типична для научно-технических расчетов (тригонометрические, экспоненты, логарифмы). Поэтому все современные микропроцессоры в качестве дополнения к CPU имеют математические сопроцессоры. Их обычно называют блоками или устройствами с плавающей точкой - FPU (Floating Point Unit), или числовым расширением процессора - NPX (Numeric Processor eXtension). Сочетание параллельно работающих CPU и FPU позволяет добиться большей скорости и большей точности вычислений.

Числа с плавающей точкой представляются в виде мантиссы и порядка , иногда это представление называют полулогарифмической формой числа. Например, число можно представить в виде , при этом , основание системы счисления подразумевается фиксированным и равным десяти. Для двоичных чисел в этом представлении также формируется и порядок при основании системы счисления, равном двум.

что соответствует записи

Детализация двоичного представления чисел с плавающей точкой и двоично-десятичная форма чисел подробно освещены в [88]. Поскольку их представление и обработка базируются на двоичной арифметике, рассмотрим правила сложения двоичных цифр.

Все современные ЭВМ имеют достаточно развитую систему команд, включающую десятки и сотни машинных операций. Однако выполнение любой операции основано на использовании простейших микроопераций типа сложения и сдвига. Это позволяет иметь единое арифметико-логическое устройство для выполнения любых операций, связанных с обработкой информации. Сложение двоичных цифр двух чисел и иллюстрируется табл. 14.2.

Таблица 14.2. Правила сложения двоичных цифр
Значения двоичных чисел А и В	Разряд суммы	Перенос в следующий разряд

Здесь показаны правила сложения двоичных цифр , одноименных разрядов с учетом возможных переносов из предыдущего разряда .

Подобные таблицы можно было бы построить для любой другой арифметической и логической операции (вычитание, умножение и т.д.), но именно данные этой таблицы положены в основу выполнения любой операции ЭВМ. Под знак чисел отводится специальный знаковый разряд. Знак "+" кодируется двоичным нулем, а знак "-" - единицей. Действия над прямыми кодами двоичных чисел при выполнении операций создают большие трудности, связанные с необходимостью учета значений знаковых разрядов:

• во-первых, следует отдельно обрабатывать значащие разряды чисел и разряды знака;
• во-вторых, значение разряда знака влияет на алгоритм выполнения операции, например, сложение может заменяться вычитанием и наоборот.

Во всех ЭВМ без исключения все операции выполняются над числами, представленными специальными машинными кодами. Их использование позволяет обрабатывать знаковые разряды чисел так же, как и цифровые разряды, а также заменять операцию вычитания операцией сложения.

Различают прямой код (П), обратный код (ОК) и дополнительный код (ДК) двоичных чисел.