Системы счисления. Системой счисления называется способ изображения чисел с помощью ограниченного набора символов, имеющих определенные количественные значения

Системой счисления называется способ изображения чисел с помощью ограниченного набора символов, имеющих определенные количественные значения. Систему счисления образует совокупность правил и приемов представления чисел с помощью набора знаков (цифр).

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах каждая цифра числа имеет определенный вес, который зависит от позиции цифры в последовательности, изображающей число. Позиция цифры называется разрядом. В позиционной системе счисления любое число можно представить в виде:

(14.1)

где - -я цифра числа;

- количество цифр в дробной части числа;

- количество цифр в целой части числа;

- основание системы счисления.

Основание системы счисления показывает, во сколько раз "вес" -го разряда больше () разряда. Целая часть числа отделяется от дробной части точкой (запятой).

Пример 14.1. .

В соответствии с формулой (14.1) это число формируется из цифр с весами разрядов:

Теоретически наиболее экономичной системой счисления для представления значения числа цифрами является система с основанием , находящимся между числами 2 и 3.

Во всех современных ЭВМ для представления числовой информации применяется двоичная система счисления. Это обусловлено:

• более простой реализацией алгоритмов выполнения арифметических и логических операций;
• более надежной физической реализацией основных функций, так как они имеют всего два состояния (0 и 1);
• экономичностью аппаратной реализации всех схем ЭВМ.

При число различных цифр, используемых для записи чисел, ограничено множеством из двух цифр (нуль и единица). Кроме двоичной системы счисления, широкое распространение получили и производные системы:

• двоичная - ;
• десятичная, точнее двоично-десятичное представление десятичных чисел - ;
• шестнадцатеричная - . Здесь шестнадцатеричная цифра обозначает число 10, - число 11,..., - число 15;
• восьмеричная (от слова восьмерик) - . Она широко используется во многих специализированных ЭВМ.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются производными от двоичной, так как и . Они применяются в основном для более компактного изображения двоичной информации, так как запись значения чисел производится существенно меньшим числом знаков

Пример 14.2. Число в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления имеют следующее представление:

В табл. 14.1 приведено сравнительное представление чисел в различных системах счисления: десятичной (10 с/с), двоичной (2 с/с), восьмеричной (8 с/с) и шестнадцатеричной (16 с/с).

По данным этой таблицы можно выявить целый ряд закономерностей:

• нуль и единица имеют единственное и одинаковое представление в любых системах счисления;
• основание системы счисления в любой системе имеет представление 10;

· незначащие нули слева от целой части и справа от дробной части числа не изменяют значений чисел;

• представление чисел в различных системах счисления допускает однозначное их преобразование из одной системы в другую.

В ЭВМ перевод из одной системы в другую осуществляется автоматически, по специальным программам. Правила перевода целых и дробных чисел отличаются.

Необходимо сделать несколько замечаний. В общем случае перевод любого числа с дробью из одной системы счисления в другую может привести к появлению иррациональных чисел, имеющих бесконечное количество разрядов в дробной части чисел. Естественно, что любое техническое устройство, например компьютер, может оперировать только с конечным числом цифр, являющихся старшими, наиболее значимыми разрядами.

Игнорирование, отбрасывание младших разрядов чисел приводит к их округлению. При этом разница между округляемым и полученным числами называется ошибкой округления. Следует учитывать, что округление результатов вычислений по любому неслучайному правилу приводит к ошибкам с ненулевым смещением [83].