2014-02-09
982
Лекция № 5
Аксиомы, теоремы, факты и цели
Определения таких понятий, как интерпретация, общезначимость, модель, выводимость формул, введенных в главе 2 для логики высказываний, остаются справедливыми и для логики предикатов. В математической литературе, посвященной логике предикатов первого порядка, аксиомами обычно называют формулы, истинные при всех интерпретациях в некоторой среде. Как и в случае логики высказываний, это можно выразить и другими словами: аксиомами называют такие формулы логики предикатов, для которых среда является моделью при всех их интерпретациях. Как уже отмечалось, атомы с отрицаниями или без них называют литералами. Аксиомы, являющиеся литералами, все аргументы которых константы, часто называют фактами. Аксиомы, не являющиеся фактами, часто называют правилами. Факты и правила представляют собой формулы логики предикатов. Основная задача агента — вывод на основании фактов и правил истинных формул, называемых обычно теоремами, целями или целевыми формулами.
При описании аксиом и целей для конкретной среды возникает много вопросов. Приведем некоторые из них.
Как определить, что сформулировано достаточно аксиом, относящихся к данной среде, для того, чтобы можно было вывести все интересующие нас цели?
Как избежать избыточного числа аксиом?
В каком виде аксиомы лучше всего формулировать?
Переход от высказываний на естественном языке к высказываниям на языке логики предикатов достаточно прост, хотя и требует определенной аккуратности. Рассмотрим пример перевода на язык логики предикатов первого порядка предложений естественного языка. Если мы хотим выразить на естественном языке знания о том, что некоторое существо (объект), которое имеет крылья, является птицей или что существо, которое летает и несет яйца, также является птицей, то мы можем записать это в виде двух следующих предложений русского языка.
Если существо имеет крылья, то это существо — птица.
Если существо летает и несет яйца, то это существо — птица.
Те же знания можно выразить на языке логики предикатов в виде таких правил или формул:
имеет_крылья (существо) 
птица (существо),
летает (существо) 
несет_яйца (существо) птица (существо). (3.8)
Для того чтобы перейти к этой форме представления знаний в языке логики предикатов сначала, глядя на предложения русского языка, определяем, что же является объектом, который необходимо сопоставить с константой или переменной. В данном случае речь шла о классе некоторых существ, обладающих определенными свойствами. Поскольку речь идет не о конкретном существе, а о классе существ, то вводим переменную существо для обозначения всех представителей этого класса. Свойства существ задаются фразами русского языка «имеет крылья», «летает», «несет яйца», «птица». Из этих фраз, обозначающих свойства, построим соответствующие предикатные символы, имеет_крылья, летает, несет_яйца, птица. С использованием этих обозначений фразы «существо имеет крылья», «существо летает», «несет яйца», «это существо — птица» заменяются соответственно на предикаты имеет_крьиья (существо), летает (существо), несет_яйца (существо), птица (существо). Из этих предикатов образуются формулы или правила (3. 8), в которых слову «и» соответствует связка , а словам «Если... то» — связка .
Вид существа определяет наличие или отсутствие у него перечисленных свойств. Если это существо синица, то она имеет крылья, а если этим существом является кролик, то, естественно, у него нет крыльев. Иначе говоря, фраза «синица имеет крылья» справедлива или истинна в русском языке, а фраза «кролик имеет крылья» ошибочна или ложна. В соответствии с этим предикат имеет_крьыья (Синица) принимает истинное значение И, а предикат имеет_крылья (Кролик) — ложное Л. Слова Синица и Кролик в данном случае являются объектными константами. Подставляя значения объектных констант, имеем теперь возможность вычислять истинность или ложность формул (3.8).
В данном примере использованы так называемые одноместные предикаты, имеющие по одному аргументу. Предикаты могут быть также многоместные (имеют более одного аргумента). В случае одноместного предиката предикатный символ соответствует какому-либо свойству объекта. В случае многоместных предикатов предикатный символ рассматривается либо как некоторое общее свойство объектов, соответствующих аргументам, либо, чаще всего, как отношение, в котором эти объекты находятся, что, впрочем, также является их свойством. Формулы задают отношения между такого типа свойствами, но только с использованием связок.
Логика предикатов, как и логика высказываний, необходима для решения задач. Постановка задачи на языке логики предикатов, даже если есть соответствующее описание на естественном языке, далеко не простое дело. Для облегчения этого процесса на основе логики предикатов разрабатываются более удобные языки, учитывающие особенности конкретных сред. Этим языкам будет уделено внимание в дальнейшем. Сейчас же вернемся к среде чудовища и рассмотрим, как можно осуществить постановку задачи для среды чудовища в логике предикатов.
