Модели эпидемии

Пример

b = 2		b = 0.5
n	p_n	q_n	n	p_n	q_n
	0.500	0.500		0.500	0.500
	0.400	0.600		0.571	0.429
	0.294	0.706		0.629	0.371
	0.196	0.804		0.676	0.324
	0.119	0.881		0.713	0.287
	0.067	0.933		0.744	0.256
	0.036	0.964		0.769	0.231
	0.019	0.981		0.790	0.210
	0.009	0.991		0.808	0.192
	0.005	0.995		0.823	0.177
	0.002	0.998		0.836	0.164
	0.001	0.999		0.848	0.152
	0.001	0.999		0.858	0.142
	0.000	1.000		0.866	0.134

Модель распространения болезни без выздоровления («быстрая эпидемия»). Описывает ситуацию, при которой продолжительность болезни велика настолько, что при описании процесса распространения заболевания числом выздоровевших можно пренебречь.

Обозначения:

P — численность населения (константа);

P ₀(t) — число здоровых;

P ₁(t) — число больных.

Очевидно, P ₀(t) + P ₁(t) = P.

Процесс распространения заболевания описывается дифференциальным уравнением

Общее решение этого уравнения — логистическая функция

где постоянная C связана с начальным условием P ₁(0) соотношением

2. Модель распространения болезни с выздоровлением без иммунитета. В прежних обозначениях процесс распространения описывается уравнением

или

где введено обозначение

Общее решение уравнения имеет вид

где постоянная C связана с начальным условием P ₁(0) соотношением

3. Модель распространения болезни с выздоровлением и иммунитетом. В этом случае требуется различать изначально здоровых (не болевших), за которыми сохранится обозначение P ₀(t), и выздоровевших, которые будут обозначены P ₂(t). При любых t теперь выполняется равенство

P ₀(t) + P ₁(t) + P ₂(t) = P.

Процесс распространения болезни и выздоровлений описывается системой дифференциальных уравнений