Формула Циалковского

Двух импульсный перелет между компланарными круговыми орбитами.

Формула (7) это приращение скорости, которое нужно сообщить КК, при переходе с одной круговой орбиты на другую. Возникает необходимость, при расчете о переходе КК с орбиты на орбиту, знать какое количество топлива необходимо для этого маневра.

Будем считать, что КК движется в воздушном пространстве и вне поля тяготения планеты (идеальный полет).

Читаем, что сила тяги КК направлена по вектору скорости, т.е. движение можно рассматривать, как прямолинейное.

Запишем дифференциальные уравнения КК в проекции на вектор скорости.

m – масса КК;

V – скорость КК;

P – тяга двигателей КК.

Так как движение КК происходит в безвоздушном пространстве, то можно записать:

- массовый секундный расход топлива;

W – скорость истечения продуктов сгорания (ПС) на срезе сопла.

Подставим (**) в (*)

Проинтегрируем это выражение (W=const)

Для определения С используем начальные условия полета:

При t=0: m=m₀; V=V₀

При t: m=m(t); V=V(t)

Рассмотрим приращение скорости за время t

- формула идеальной скорости (Циалковского).

В реальных условиях величину импульса скорости ΔV необходимо увеличивать на некоторую величину ΔV_ПОТЕРЬ , которая возникает из-за наличия сил тяжести, действующих на КК, а также некомпланарности вектора тяги и вектора скорости, Таким образом:

ΔU+ΔV_ПОТЕРЬ=ΔV_{ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ}

ΔV_ХАР – это реальная скорость, которая должна быть сообщена КК, для выполнения двух импульсного перелета.

Рассмотрим случай:

m_o – стартовая масса ракеты;

w_т – масса топлива;

m_к – масса конструкции КК (сухой вес).

Формула показывающая, сколько нужно израсходовать топлива, чтобы сообщить КК дополнительную скорость (ΔU+ΔV_ПОТЕРЬ).

В первом приближении,когда нам неизвестны особенности КК, параметры орбиты и т.д. можно принять, что ΔV_ПОТЕРЬ≈0 и тогда

Полученная зависимость между величиной импульса (ΔU) необходимого для маневра и запаса топлива (w_т) позволяет нам ограничиться анализом потребного импульса скорости и не рассматривать характеристики самого КК, при решении многих задач механики космического полета.