Закон поглощения
Идемпотентность
Дистрибутивность
Коммутативность
Замкнутость
Булева алгебра. Функциональная полнота
Дистрибутивность
Ассоциативность
Коммутативность
x1 & x2 = x2 & x1.
x1 v x2 = x2 v x1.
x1 v (x2 v x3) = (x1 v x2) v x3.
x1 & (x2 & x3) = (x1 & x2) & x3.
x1 & (x2 v x3) = (x1 & x2) v (x1 & x3 ).
x1 v (x2 & x3) = (x1 v x2) & (x1 v x3 ).
Отметим также важные соотношения:
X v X = X, X & X = X, X v 1 = 1, X & 1 = X,
X v 0 = X, X & 0 = 0, X v ØX = 1, X & ØX = 0.
Положим x a = { X, если a = 1; ØX, если a = 0 }.
Утверждение. Любая функция алгебры логики кроме 0 может быть представлена в форме
f(x 1...xn) = Ú x1 a & x2 a... & xn a (3.1)
При этом дизъюнкция в правой части берется только по тем наборам аргументов, на которых функция, заданная таблично, обращается в 1.
Определение. Представление функции алгебры логики в виде (3.1) называется ДСНФ - дизъюнктивной совершенной нормальной формой.
|
|
Для построения ДСНФ необходимо выполнить следующие шаги:
· выбрать в таблице истинности заданной функции все наборы аргументов, на которых функция равна 1;
· выписать соответствующие этим наборам конъюнкции, при этом, если аргумент xi входит в данный набор как 1, то он записывается без изменений, если же как 0, то берется;
· все полученные конъюнкции объединяются под знаком дизъюнкции.
Определение. Алгеброй над множеством логических функций с двумя бинарными операциями, обозначаемыми как логическое умножение & и логическое сложение v и одной унарной операцией (отрицанием)
Ø называется булевой алгеброй. Будем обозначать ее символом SB.
Рассмотрим свойства булевой алгебры.
для " A и B Î SB
A v B Î SB
A & B Î SB
A & B = B & A
A v B = B v A
3. Ассоциативность
A v (B v C) = (A v B) v C
A & (B v C) = (A & B) v (A & C)
A v (B & C) = (A v B) & (A v C)
A v A = A & A = A.
6. Булева алгебра содержит элементы 0,1, такие что для всякого
элемента A Î SB справедливо:
A v 0 = A, A v 1 = 1
A & 0 = 0, A & 1 = A.
7. Для каждого элемента A Î SB существует элемент, такой что
A v =1
A & =0.
A & (A v B) = A v A & B = A.
Определение. Система функций f1, f2... fn Î SB называется полной, если любая функция j из SB представима в виде суперпозиции функций f1, f2... fn.
Определение. Система функций f1, f2... fn Î SB, являющаяся полной, называется базисом.
Определение. Минимальным базисом называется базис, для которого удаление хотя бы одной из функций fi превращает систему функций в неполную.
Можно показать, что системы функций { &, Ø} и { Ú, Ø} - полные. Система функций { &, Ø, Ú} является полной, но избыточной, так как она сохраняет свойства полноты и при удалении из нее & или Ú. За не избыточность системы функций { &, Ø} и { Ú, Ø} приходится платить избыточностью формул (повышением сложности функций).
|
|