Арифметические действия над производными
Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл
На рисунке изображены график функции точки секущая, касательная к кривой углы Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности. Сместимся из точки в точку Величина называется приращением аргумента в точке а величина = называется приращением функции в точке (соответствующим приращению аргумента).
Определение 4. Если существует (конечный) предел
то его называют производной функции в точке и обозначают При этом функцию называют дифференцируемой в точке а
величину называют дифференциалом функции в точке
Выясним, в чем состоит геометрический смысл производной и дифференциала. Так как и так как то т.е.
т.е. производная функции в точке является угловым коэффициентом касательной к кривой с точкой касания
С другой стороны, из рисунка видно,что поэтому
дифференциал равен приращению касательной к графику функции при переходе аргумента из точки в точку
|
|
Из геометрического смысла производной легко получить уравнения касательной и нормали к кривой в точке
(касательная), (нормаль).
Выясним теперь механический смысл производной. Если путь пройденный материальной точкой за время от момента до момента то средняя скорость материальной точки, а величина
мгновенная скорость материальной точки в момент
Нетрудно показать, что
любая дифференцируемая в точке функция непрерывна в точке (обратное, вообще говоря, неверно; пример: непрерывна в точке но не существует).
Теорема 4. Если функции дифференцируемы в точке то в этой точке дифференцируемы и функции причем
(в рассматриваемой точке).
Если, кроме того, то в точке дифференцируемо и частное, причем
Доказательство проведем для производной суммы. Имеем поэтому
Теорема доказана.
Приведем без доказательства некоторые утверждения, связанные с производными.
Теорема 5. Пусть сложная функция определена в точке и некоторой ее окрестност и пусть выполнены условия:
1. функция дифференцируема в точке
2. функция дифференцируема в соответствующей точке
Тогда сложная функция дифференцирума в точке и имеет место равенство
Напомним следующие понятия:
а) Функция называется обратимой на множестве если
При этом функция сопоставляющая каждому элемент такой, что называется функцией, обратной к
Очевидно, имеют место тождества:
Заметим, что все строго монотонные на множестве функции обратимы на
б) Говорят, что функция задана параметрически уравнениями если функция обратима на отрезке В этом случае где функция, обратная к функции
|
|
Теорема 6. Пусть функцияв некоторой окрестности точки имеет обратную функцию Пусть, кроме того, функция дифференцируема в точке и Тогда обратная функция дифференцируема в соответствующей точке и имеет место равенство
Теорема 7. Пусть функция задана параметрически уравнениями и пусть выполнены условия:
1) функции дифференцируемы в фиксированной точке
2) в рассматриваемой точке
Тогда функция дифференцируема в точке и имеет место равенство