Исследование функций с помощью высших производных

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Пусть функция дифференцируема в точке Тогда в точке она имеет касательную, каждая точка удовлетворяет уравнению

Определение 3. Говорят, что кривая выпукла вверх в точке если существует такое, что в окрестности кривая находится

ниже своей касательной (3) в точке т.е. если Если же

то кривая называется выпуклой вниз в точке (часто говорят, о выпуклости или вогнутости в точке). Говорят, что кривая выпукла вверх (выпукла вниз) на интервале если она выпукла вверх (выпукла вниз) в каждой точке этого интервала.

На рисунке Р.2 функция выпукла вверх в точкеа на Р.3 – выпукла вниз.

Теорема 3. Пусть функция дважды дифференцируема на интервале. Тогда справедливы высказывания:

1. если то криваявыпукла вверх на

2. если то кривая выпукла вниз на

Доказательство. Пусть произвольная точка интервала Окружим её отрезком Так как функция удовлетворяет на этом отрезке всем условиям теоремы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, то для всех имеет место представление

С другой стороны, в точке функция имеет касательную с уравнением.Значит, Отсюда видно, что если (тогда и), то значит,

кривая выпукла вверх в точкеЕсли жето то значит, кривая выпукла вниз в точкеТеорема доказана.

Определение 4. Точка называется т очкой перегиба кривой если:а) дифференцируема в точке; б) кривая при переходе через точку изменяет направление выпуклости (это равносильно тому, что разность изменяет знак при переходе через точку).

Необходимое условие точки перегиба. Если - точка перегиба и если существут то

Доказательство вытекает из локальной формулы Тейлора и из равенства

Замечание 4. К точкам, подозрительным на “перегиб”, следует отнести, прежде всего, точки, для которыхОднако “перегиб” может иметь место и в точках, в которых вторая производная не существует или равна Например, в точке функция имеет производную И в этой точке эта функция имеет “перегиб”. Очевиден следующий результат.

Теорема 4 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функциядифференцируема в точке и некоторой её окрестности и дважды дифференцируема в некоторой проколотой окрестности этой точки. Тогда если при переходе через точку вторая производная изменяет знак, то точка перегиба кривой

Используя локальную формулу Тейлора, можно доказать следующие утверждения.

4. Пусть функция дифференцируема раз в критической точке и пусть при этом

Тогда если то при в точке функция достигает минимума; при функция достигает максимума в точке.Если же

то в точке функция не имеет локального экстремума.

5. Пусть функция трижды дифференцируема в точке и выполнены условия: а) б) Тогда –точка перегиба кривой

Например, при исследовании функции на экстремум в точке исследовать знак производной довольно сложно. Так как

то (согласно утверждению 4) в точке функция достигает минимума.

Лекция 5. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица первообразных. Простейшие приемы интегрирования: подведение функции под знак дифференциала, выделение полного квадрата, замена переменных и интегрирование по частям в неопределенном интерале. Определенный интеграл, его свойства и геометрический смысл

Операция, обратная дифференцированию, называется интегрированием. Перейдем к ее изложению.