Приближенные вычисления и оценка погрешности вычисления

Линеаризация функции.

Определение: Замена функции в окрестности данной точки линейной функции называется линеаризацией функции, точнее в О(х₀) заменяется отрезком касательной в точке х₀.

(*) f(x)-Y=a(∆x)∆x-o(∆x)

Если в равенстве (*) отбросить правую часть, то мы

получим приближённое равенство:

f(x)»f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀), x»x₀

Y=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀) – уравнение касательной в точке х₀

Формула получена из определения дифференциала в точке х₀ функции

f(x)=f(x₀)+f(x₀)∆x+o∆x при ∆х®0 – называется критерием дифференциальности функции в точке х₀.

Можно приближенно вычислять значение функции в точках близких к заданной точки.

³Ö8,001=1

х₀=8

х=8,000

f(x)=³Öx

f(x₀)=f(8)=2

Проведём линеаризацию выбранного корня.

f’(x)|_х=8=(³Öx)’|_x=8=1/3x^-2/3|_x=8=1/12

³Öx»2+1/12(x-8), x»8

³Öx»2+0,001/12

Y_кас=2+1/12(x-8)

³Öx=2+1/12(x-8)+o(x-8) при х®8