2014-02-18
316
Можно указать О(х1) в которой все значения функции
f(x)<f(x1) b и О°d1(х1) анологично для точки х2
f(x)>f(x1) b и О°d2(х1). Значенгие функции в точке М1, М3 и М5 –
max; M2 и М4 – min – такие точки назавыются точкками
экстремума или точками локального max и min.
Определение: (точки экстремума)
Пусть функия f(x) определена в некоторой О(х0) и f(x)>f(x0) в
О°(х0) или f(x)<f(x0) в этом случае точка х0 – называется точкой локального max (min).
Замечание:
f(x)£f(x1) в Оd1(х1)
f(x)³f(x2) в Оd2(х2)
говорят, что точки х1 и х2 точки не строгого локального
экстремума.
Теорема: (Ферма) (о необходимости условия экстремума дифференцируемой функции)
Пусть y=f(x) дифференцируема в точки х0 и точка х0 – точка экстремума, тогда f(x0)=0
Доказательсто: Заметим, что х0 точка экстремума, то в её окрестности f(x) – f(x0) сохраняет знак. Запишем условие ∆f(x0)=f(x)-f(x0)(x-x0)+o(x-x0)
f(x)-f(x0)=(x-x0)[f(x0)+a(x-x0)] то при х – достаточно близких к х0 знак выражения стоящего в квадратных скобках совпадает со знаком f’(x0)¹0 (x-x0) – меняет знак при переходе черех точку х0 Þ f’(x0)=0
