border="0" />заменим эквивалентной величиной, где h -погружение точки М под уровень свободной поверхности жидкости (измеряется по вертикали). Эти две величины
одинаковы, т.к. . После этих преобразований уравнение равновесия
жидкости в цистерне примет привычный вид, соответствующий записи основного закона гидростатики:
Таким образом, давление в любой точке жидкости будет зависеть только от положения этой точки относительно уровня свободной поверхности жидкости. Поверхности равного давления будут параллельны свободной поверхности жидкости, и иметь такой же уклон
Равновесие жидкости в равномерно вращающемся сосуде. Свободная поверхность жидкости, залитой в цилиндрический сосуд и находящейся под действием сил тяжести примет форму горизонтальной плоскости на некотором уровнеотносительно дна сосуда. После того как мы приведём сосуд во вращение вокруг его вертикальной оси с некоторой постоянной угловой скоростью со = const, начальный уровень свободной поверхности жидкости изменится: в центре сосуда он понизится, а по краям сосуда повысится. При этом форма свободной поверхности примет явно вид криволинейной поверхности вращения. Это явление объясняется тем, что при вращении сосуда вокруг своей оси жидкость в нём будет испытывать ускорение переносного движения направленное в сторону стенок сосуда. Поскольку равнодействующая двух сил: силы тяжести и центробежной силы должна быть направлена по нормали к свободной поверхности жидкости в каждой точке поверхности, то эта равнодействующая будет иметь, как быль сказано выше, две составляющие соответственно силу тяжести, направленную вертикально вниз и центробежную, направленную в горизонтальной плоскости.
|
|
В каждой точке свободной поверхности жидкости АОВ вектор углового ускорения будет направлен под некоторым углом а по отношению к касательной плоскости, проходящей через данную точку свободной поверхности.
Отсюда:
В центре на оси вращения, на расстоянии от дна сосуда будет расположена
самая низкая точка свободной поверхности жидкости, т.е.
Отсюда: свободная поверхность жидкости находящейся в равномерно вращающемся вокруг его вертикальной оси сосуде будет иметь вид параболоида вращения (кривая АОВ- парабола).
Выберем любую точку жидкости на глубине под свободной поверхностью h (в частности точка находится на дне сосуда), тогда давление в ней будет равно:
Этот вывод можно распространить и на более сложные случаи вращения сосуда, наклоняя ось его вращения под углом к горизонту; результат получим тот же, что подтверждает универсальность формулы основного уравнения гидростатики.
|
|
2.4. Дифференциальное уравнение равновесия жидкости
После рассмотрения некоторых частных случаев равновесия жидкости рассмотрим общее диф ференциальное равновесия в самом общем виде. Для этой цели выделим отсек жидкости малых размеров в виде параллелепипеда. Масса жидкости в выделенном объёме:
На боковые грани параллелепипеда действуют силы давления: (на левую и правую грани соответственно):. На переднюю и заднюю грани: , на нижнюю
и верхнюю грани:
Поскольку давление на правую грань больше, то i
По аналогии можно записать силы давления на остальные пары граней.
на переднюю , на заднюю , на нижнюю
, на верхнюю Проекции массовых сил на координатные оси:
на ось ОХ будет на ось ОУ будет
на ось OZ будет Тогда сумма сил действующих вдоль оси ОХ:
сумма сил действующих вдоль оси 07:
сумма сил действующих вдоль оси OZ:
где:, проекции ускорения массовых сил на координатные оси.
После преобразования получим систему дифференциальных уравнений равновесия жидкости:
i i >