Пример. Функция желательности

Функция желательности

Понятие целевой обобщенной функции, функция желательности.

Вспомним еще раз постановку основной задачи поиска проведения экспериментов и оптимального решения: например, нужно добиться максимальной эффективности при производстве материала, изделия. Для этого следует выбрать оптимальное сырье, оптимальную технологию.

Для решения задачи изучают опыт (накопленный, пассивный эксперимент) или проводят эксперимент (активный эксперимент), строят математическую модель и изучают модель на предмет поиска оптимума.

Основная задача: понять, что вам нужно, сформулировать желание, лучше в виде функции Y, далее достигнуть того, чтобы функция желательности d была максимальной при соответствующих значениях влияющих или составных параметров X₁,X₂,...X_k.

Не всегда удается сформулировать d однозначно. Поэтому говорят об “обобщенной функции желательности” D. Часто она имеет субъективный характер.

Обобщенная функция желательности D равная корню k-той степени из произведения частных функций желательности d1, d2,d3, …dk:

D=(d1*d2*d3*…dk)^1/k.

Таким образом, D=1 если все d=1, но если хотя бы одна d=0, то и D=0.

Не всегда удается сформулировать d однозначно, поэтому значение d может иметь субъективный характер. Полагают, что значение d (или D) может меняться от 0 до 1, причем D=0 – это неприемлемое значение, а D=1 – лучшее решение.

Присвоим качественным оценкам D численные значения:

D= 0,8 …1 Очень хорошо

D=0,63…0,8 Хорошо

D=0,37…0,63 удовлетворительно

D=0,20…0,37 плохо

D=0…0,2 очень плохо

Выбор чисел объясняется удобством вычислений, так как 0,63=1-1/е;

0,37=1/е.

Имеется соотношение между функцией желательности d и значением отклика у – измеряемым или определяемый параметр, характеризующий частную функцию желательности d:

d=ехр(-е^-у'),

причем полагают, что у' является линейной функцией у; таким образом у'=bo+b₁y, где bо и b₁ -некоторые постоянные.

Нужно разработать полимерный материал на базе полиэтилена низкой плотности ПЭНП. В качестве откликов используют модуль при изгибе y₁, разрушающее напряжение при разрыве y₂, относительное удлинение y₃. Преобразуем отклики y в частные функции желательности. Полагаем, что «хорошие» значения у1,у2 и у3 равны соответственно 430 МПа, 110 МПа и 200%, и «плохие» значения 320, 60 и 100 соответственно.

	Хорошее значение Еи, МПа (Y1мах)	Плохое значение Еи, МПа (Y1min)	Хорошее значение sр, МПа (Y2max)	Плохое значение sр, МПа (Y2min)	Хорошее значение eр, % (Y3max)	Плохое значение eр,% Y3min
Оценка по шкале же-латель-ности	0,63	0,2	0,63	0,2	0,63	0,2

0,63 = exp(-exp(-y')) 0,2 = exp(-exp(-y'))

1/0,63=1,587=exp(-exp(-y')) 1/0,2=5=exp(exp(-y'))

После проведения двух логарифмирований имеем

-y'=ln(ln(1,587); -y'=ln(ln5) или

-y'=-0,772; -y'=0,475

Подставим в вышеприведенные линейные соотношения у'=f(y) принятые нами "хорошие" и "плохие" значения откликов у. Для Еи:

b₀ +430b₁ =0,772

b₀ +320b₁ =-0,475

отсюда b₁ =0,011; b₀ = - 3,958

Таким же способом найдем значения bo и b1 для других частных функций желательности

d₁ = exp(-exp(-3,958+0,011y₁))

d₂ = exp(-exp(-1,45+0,02y₂))

d₃ = exp(-exp(-1,25+0,01y₃))

Провели эксперименты, в которых использовали ПЭНП, три вида эластифицирующих добавок (СКЭП, ИСТ-30, ДСТ-30) при их содержании соответственно 3%, 5%, 10%. Использовали наполнители трех типов: тальк (0), аэросил (1),слюда (2). Результаты экспериментов приведены ниже

N X₁ X₂ X₃ X₄ Y₁ Y₂ Y₃ D

опыта

______________________________________________________________

1 0 0 0 0 364 117 483 0,645

4 1 0 0 1 470 134 447 0,810

.....

16 2 0 1 5 0,773

18 2 2 1 1 0,768

19 0 0 2 6 0,210

27 2 2 2 4 558 120 231 0.743

Расчет функций желательности (для опыта 4) проводили по формуле

D=(ехр(-exp(-3,445+0,0098y₁))*exp(-ехр(-1,45+0,02y₂))*exp(-ехр(-1,25+0,01y₃)))^1/3= =(0,7456*0,7465*0,96)^1/3 = 0,81. Наилучшие результаты - N4, хорошие NN 16,18,27.