Математическое моделирование — это изучение поведения объекта в тех или иных условиях путем решения уравнений его математической модели

Математическая модель представляет собой совокупность уравнений, неравенств, логических условий и других соотношений, отражающих взаимосвязи и взаимозависимости основных характеристик моделируемой системы.

Формы представления моделей. Формализация.

Все модели можно разбить на 2 класса: модели материальные и модели информационные.

Материальные (или предметные) воспроизводят геометрические, физические и др. свойства объекта в материальной форме (глобус, макеты зданий, муляжи анатомические, искусственные фрукты и т.д.).

Информационная модель (ИМ) представляет собой отражение предметной области в виде информации.

Предметная область представляет собой часть реального мира, которая исследуется или используется

Адекватность модели означает ее соответствие моделируемому объекту или процессу. Это понятие условное, так как полного соответствия модели реальному объекту быть не может. При моделировании имеется в виду соответствие по тем свойствам системы, которые считаются наиболее существенными для исследования.

Информационные модели (ИМ) представляют объекты и процессы в образной и знаковой форме.

Образные модели – рисунок, фото,.. – зрительные образы, зафиксированные на каком-то носителе. Они используются в образовании, ботанике, биологии (классификации).

Знаковые ИМ строятся с использованием различных языков, например, в форме текста (программа на языке программирования, формулы – закон Ньютона: F=a*m), таблицы (Менделеева). Для создания ИМ используются различные способы и инструменты – от наскальных рисунков до новейших компьютерных технологий.

ФОРМАЛИЗАЦИЯ.

Для создания описательных ИМ используются естественные языки, например гелиоцентрическая модель мира Коперника формализовалась так:

· Земля вращается вокруг своей оси и вокруг Солнца;

· Орбиты всех планет проходят вокруг Солнца.

С помощью формальных языков строятся формальные ИМ. Самый широко используемый формальный язык – это математика. Модели, построенные с использованием математических понятий и формул, называются математическими моделями.

По используемому математическому аппарату математические модели подразделяются на:

1) аналитические (описываемые с помощью систем уравнений, неравенств и т.д.);

2) статистические (реализующие выбор решения путем статистической обработки имеющихся решений).

У математически подобных объектов процессы обладают различной физической природой, но описываются идентичными уравнениями.

На первых порах своего развития математическое моделирование называлось аналоговым. Более того, использование метода аналогии привело к появлению аналоговых вычислительных машин — АВМ.

Общих методов построения математических моделей не существует. Работа над любой математической моделью начинается со сбора и анализа фактического материала. Определяются цели моделирования. Выделяются главные черты изучаемого объекта или явления. Вводятся формализованные характеристики. Принимаются правила работы с ними. В результате возникает математический объект, который и называется математической моделью.

Разрабатываются методы математического анализа модели, которыми она исследуется. Полученные результаты математического моделирования интерпретируются в рамках исходного фактического материала, что позволяет оценить степень адекватности модели; Результаты моделирования не должны противоречить выделенным ранее ключевым экспериментальным фактам. Одновременно модель не может объяснить все стороны изучаемого объекта или явления.

Предпочтение отдается более простым моделям. Простота (иногда в ущерб точности) — один из принципов, о котором всегда нужно помнить при разработке математической модели.

Поскольку математическая модель не вытекает непосредственно из описания задачи, то одна и та же задача (одно и тоже явление) может иметь несколько моделей.

Построение модели в общем случае включает:

—составление математического описания;

—решение уравнений математического описания (аналитическое либо путем создания моделирующего алгоритма);

—проверку адекватности модели (это оценка достоверности построенной математической модели, исследование ее соответствия изучаемому объекту);

—окончательный выбор модели (при наличии нескольких моделей).

Требования к модели:

1. Затраты на создание и исследование модели должны быть значительно меньше затрат на создание и проведение эксперимента над оригиналом.

2. Модель должна отражать важнейшие черты явления (оригинала).

3. Модель должна быть, по возможности, простой, не «засоренной» массой мелких второстепенных деталей.

Язык алгебры логики (или алгебры высказываний) позволяет строить логические модели.

Запишем некоторые понятия в связи с моделями:

Инфологическая (концептуальная модель) связана с отображением знаний о предметной области. модель обеспечивает описание предметной области без ориентации на используемые в дальнейшем программные и технические средства. Такая модель имеет слабоформализованный характер.

Логическая модель формируется из концептуальной путем выделения отдельной ее части, ее детализации и формализации. Для каждого объекта инфологической модели создается таблица данных, между которыми устанавливаются связи, соответствующие связям, выявленным между изучаемыми объектами. Создается схема данных, фиксирующая логические связи между таблицами.

Математическая модель –это логическая модель, которая формализует существующие связи на языке математики.

Алгоритмическая модель – это математическая модель, преобразованная с помощью математических методов и задающая последовательность действий, реализующих достижение поставленных целей управления. на основе этой модели разрабатывается программа решения конкретной задачи, которая представляется на понятном для ЭВМ языке.

Процесс построения ИМ с помощью формальных языков называется формализацией.

В процессе исследования формальных моделей часто используется их визуализация, т.е. строятся блок-схемы, чертежи, логические схемы, электрические схемы и т.п. Может использоваться анимация, чтобы увидеть динамику изменений каких-либо свойств изучаемого объекта. Визуальные модели обычно являются интерактивными, т.е. при изменении начальных условий, исследователь наблюдает изменения в поведении модели.

3. Системный подход в моделировании.

Можно так сказать, что все объекты состоят из других объектов и они связаны между собой по каким-либо категориям или признакам. Начиная от атомов химических элементов до планет солнечной системы. Практически каждый – это своя система объектов. Важный признак ее – целостное функционирование.

Система – совокупность взаимосвязанных объектов, которые называются элементами системы.

Состояние системы характеризуется ее структурой – составом и свойствами элементов, их отношениями и связями между собой.

Модели, описывающие состояние системы в определенный момент времени, называются статическими ИМ.

Модели, описывающие процессы изменения и развития систем, называются динамическими ИМ.