Уравнения гидродинамики и звуковых волн

В гидродинамике жидкость или газ рассматривается как сплошная среда. Это значит, что всякий малый элемент объема жидкости считается все-таки настолько большим, что содержит еще очень большое число молекул. Поэтому, когда мы будем говорить о бесконечно малых элементах объема, то всегда при этом будет подразумеваться объем достаточно малый по сравнению с объемом тела, но большой по сравнению с молекулярными расстояниями. В таком же смысле надо понимать в гидродинамике выражения «жидкая частица», «точка жидкости». Если, например, говорят о смещении некоторой частицы жидкости, то при этом речь идет не о смещении отдельной молекулы, а о смещении це­лого элемента объема, содержащего много молекул, но рассматри­ваемого в гидродинамике как точка.

Пусть жидкость движется со скоростью v (х, у, z, t), проекции которой на оси координат обозначим v _х(х, у, z, t), v _y (х, у, z, t), v _z(х, у, z, t).

Подчеркнем, что v (х, у, z, t) есть скорость жидкости в каждой данной точке (х, у, z, t) пространства в момент времени t, т. е. относится к определенным точкам пространства, а не к опреде­ленным частицам жидкости, передвигающимся со временем в про­странстве; то же самое относится к термодинамическим величинам р(х, у, z, t), ρ(х, у, z, t).

Если поле вектора скорости v (х, у, z, t) известно, то траек­тории отдельных частиц жидкости будут определяться, уравнениями

Отсюда легко можно найти ускорение частицы жидкости:

(12.15)

В каждый момент времени и в каждой точке жидкость нахо­дится в некотором состоянии термодинамического равновесия, определяемого давлением р(х, у, z, t), плотностью ρ(х, у, z, t), температурой Т(х, у, z, t), энтропией s(х, у, z, t) и внутренней энергией Е(х, у, z, t). Из термодинамики известно, что для каж­дой данной среды независимы только два из параметров р, ρ, T, s и Е. Величины р, Т и Е можно рассматривать как функции от ρ и s.

Начнем вывод основных гидродинамических уравнений с вы­вода уравнения, выражающего собой закон сохранения вещества в гидродинамике. Рассмотрим некоторый объем жидкости V, огра­ниченный поверхностью S. Если внутри объема V нет источников и стоков, то изменение в единицу времени массы жидкости, заклю­ченной внутри V, равно потоку жидкости через поверхность S:

где v_п — проекция v (х, у, z, t) на внешнюю нормаль к поверхно­сти S. Преобразуя правую часть по формуле Остроградского и дифференцируя по t под знаком интеграла в левой части, получим:

,

или

,

где

Так как последнее равенство справедливо для любого объема внутри жидкости, то отсюда следует, что

. (12.16)

Это уравнение называется уравнением неразрывности.

Перейдем теперь к выводу уравнений движения идеальной жидкости.

Под идеальной жидкостью будем понимать такую сплошную среду, в которой внутренние силы — находится ли среда в состоя­нии равновесия или движения — приводятся к давлению, так что если выделить в этой жидкости некоторый объем V, ограниченный поверхностью S, то действие на него остальной части жидкости приводится к силе, направленной в каждой точке поверхности S по внутренней нормали. Обозначим величину этой силы, отнесен­ную на единицу площади (давление), через р(х, у, z, t).

Таким образом, равнодействующая сил давления, приложенных к поверхности S, равна

,

где n —единичный вектор внешней нормали к поверхности S. На основании формулы Остроградского имеем

Пусть далее на жидкость действует внешняя сила F (F_х, F_y, F_z) рассчитанная на единицу массы, так что равнодействующая этих сил, приложенных к объему V, равна

Наконец, равнодействующая сил инерции, действующих на жидкость в объеме V, будет

,

где — вектор ускорения частицы жидкости. Здесь производная определяет не изменение скорости жидкости в данной неподвиж­ной точке пространства, а изменение скорости определенной пере­двигающейся в пространстве частицы жидкости. Это подчеркивается обозначением вместо .

Применяя принцип Даламбера, получим

Отсюда в силу произвольности объема V следует, что

(12.17)

или в скалярной форме

(12.18)

Это есть уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера. Итак, для пяти неизвестных функций v_x, v_у, v _z, ρ и р мы имеем всего четыре уравнения (12.16) и (12.18). Чтобы получить еще одно уравнение, будем считать, что движение жидкости происхо­дит адиабатически. При адиабатическом движении энтропия каж­дой частицы жидкости остается постоянной (хотя может меняться от частицы к частице при перемещении последней в пространстве, т. е. = 0, где полная производная по времени означает, как и в (12.17), изменение энтропии определенной передвигающейся в пространстве частицы жидкости. Эту производную можно запи­сать в виде

Это есть уравнение, выражающее собой адиабатичность движения идеальной жидкости. В частном случае может оказаться, что и некоторый начальный момент времени энтропия одинакова во всех точках жидкости, тогда она останется везде одинаковой и неизменной со временем и при дальнейшем движении жидкости. В этом случае уравнение адиабатичности можно писать просто в виде

s = s ₀ = const.

Такое движение жидкости называют изэнтропческим. При этом

p = f (ρ, s ₀) = f (ρ) (12.19)

Таким образом, мы имеем пять уравнений: уравнение нераз­рывности (12.16), три уравнения движения идеальной жидкости (12.18) и уравнение (12.19). Эти уравнения содержат как раз пять неизвест­ных функций: v_x, v_у, v _z, ρ и р.

2. Колебательное движение с малыми амплитудами в сжимаемой жидкости или газе называют звуковыми волнами. В каждом месте жидкости в звуковой волне происходят попеременные сжатия и разрежения.

В силу малости колебаний в звуковой волне скорость v в ней мала, так что в уравнениях Эйлера (12.18) можно пренебречь членами и т.д. По той же причине относительные изменения плотности и давления в жидкости тоже малы. Положим

, , (12.20)

где р ₀, ρ ₀— постоянные равновесные плотность и давление жид кости, а р и ρ — их изменения в звуковой волне (<< ρ ₀, << р — называют звуковым давлением.

Уравнение непрерывности (12.16) при подстановке в него (12.20) и пренебрежении малыми величинами второго порядка (,, v, ,, ,и т. д. надо при этом считать малыми величинами первого порядка) примет вид

или, полагая

получим

. (12.21)

Уравнения Эйлера (12.18), считая, что внешние силы отсутствуют, в том же приближении сводятся к уравнениям

или, в векторной форме,

. (12.22)

Уравнения (12.21) и (12.22) содержат неизвестные функции , s и . Для исключения одной из них обратимся к уравнению: p = f (ρ, s ₀) = f (ρ), ко­торое в том же приближении можно записать в виде

. (12.23)

Подставляя (12.23) в уравнение (12.22), получим

, (12.24)

где положено а ² = , так как для всех жидкостей и газов, встречающихся в природе, при постоянной энтропии, давление возрастает при возрастании плотности, т. е. >0.

Применяя к уравнению (12.24) операцию дивергенции и перестав­ши дифференцирование по I с операцией дивергенции, будем иметь

, (12.25)

где

Принимая во внимание уравнение (12.25), получим

(12.26)

Для давления и скорости v также можно получить волновое уравнение вида (12.26).

Предположим теперь, что в начальный момент существует потенциал скоростей и ₀ (х, у, z), т. е.

(12.27)

Из уравнения (12.24) следует, что

или, в силу (12.27),

(12.28)

которое означает, что существует потенциал скоростей и(х, у, z, t) в любой момент времени t:

. (12.29)

Покажем, что потенциал скоростей и(х, у, z, t) удовлетворяет волновому уравнению. В самом деле, дифференцируя выражение (12.29) два раза по t, получим

(12.30)

С другой стороны,

. (12.31)

Сравнивая (12.30) и (17), получим

(12.32)

Отметим, что знание потенциала скоростей и(х, у, z, t) доста­точно для определения всего процесса движения жидкости или газа, так как

.