Операции над нечеткими множествами

Включение.
Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве E.
Говорят, что A содержится в B, если " x ÎE m_A(x) m_B(x).
Обозначение: A Ì B.
Иногда используют термин " доминирование ", т.е. в случае когда A Ì B, говорят, что B доминирует A.

Равенство.
A и B равны, если " xÎE m_A(x) = m_B (x).
Обозначение: A = B.

Дополнение.
Пусть M = [0,1], A и B - нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если
" xÎE m_A(x) = 1 - m _B(x).
Обозначение: B = или A = .
Очевидно, что = A. (Дополнение определено для M = [0,1], но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного M).

Пересечение.
A Ç B - наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B.
mAÇB(x) = min(m_A(x), m _B(x)).

Объединение.
А È В - наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности:
mAÈ B(x) = max(m_A(x), m _B(x)).

Разность.
А - B = АÇ с функцией принадлежности:
m_A-B(x) = mA Ç (x) = min(m_A(x), 1 - m _B(x)).

Дизъюнктивная сумма.
АÅB = (А - B)È(B - А) = (А Ç) È(Ç B) с функцией принадлежности:
m_A-B(x) = max{[min{m _A(x), 1 - m_B(x)}];[min{1 - m_A(x), m_B(x)}] }
Примеры.
Пусть:

A = 0,4/ x ₁ + 0,2/ x ₂+0/ x ₃+1/ x ₄;
B = 0,7/ x ₁+0,9/ x ₂+0,1/ x ₃+1/ x ₄;
C = 0,1/ x ₁+1/ x ₂+0,2/ x ₃+0,9/ x ₄.

Здесь:

1. AÌB, т.е. A содержится в B или B доминирует A, С несравнимо ни с A, ни с B, т.е. пары { A, С } и { A, С } - пары недоминируемых нечетких множеств.