Наглядное представление операций над нечеткими множествами

Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения m_A(x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств). Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.

На верхней части рисунка заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству A и, если говорить точно, изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A. На нижней - даны , A Ç , A È .

Свойства операций È и Ç.

Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:

· - коммутативность;

· - ассоциативность;

· - идемпотентность;

· - дистрибутивность;

· AÈÆ = A, где Æ - пустое множество, т.е. mÆ(x) = 0 ">xÎE;

· AÇÆ = Æ;

· AÇE = A, где E - универсальное множество;

· AÈE = E;

· - теоремы де Моргана.

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае:

AÇ ¹ Æ,
AÈ ¹ E.

(Что, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного представления нечетких множеств).

Замечание. Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций max и min. В теории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок " и ", " или ", " не ".

Один из подходов к операторам пересечения и объединения заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм.