Логические основы ЭВМ. Алгебра логики — это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических

Алгебра логики — это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Логическое высказывание — это любoе повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo.

НЕ Операция, выражаемая словом "не", называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ). Высказывание истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример. "Луна — спутник Земли" (А); "Луна — не спутник Земли" ().

И Операция, выражаемая связкой "и", называется конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или логическим умножением и обозначается точкой ". " (может также обозначаться знаками или &). Высказывание А. В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание "10 делится на 2 и 5 больше 3" истинно, а высказывания "10 делится на 2 и 5 не больше 3", "10 не делится на 2 и 5 больше 3", "10 не делится на 2 и 5 не больше 3" — ложны.

ИЛИ Операция, выражаемая связкой "или" (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Например, высказывание "10 не делится на 2 или 5 не больше 3" ложно, а высказывания "10 делится на 2 или 5 больше 3", "10 делится на 2 или 5 не больше 3", "10 не делится на 2 или 5 больше 3" — истинны.

ЕСЛИ-ТО Операция, выражаемая связками "если..., то", "из... следует", "... влечет...", называется импликацией (лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком . Высказывание ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

РАВНОСИЛЬНО Операция, выражаемая связками "тогда и только тогда", "необходимо и достаточно", "... равносильно...", называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком или ~. Высказывание истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают. Например, высказывания "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3", "23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3" истинны, а высказывания "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5", "21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3" ложны.

Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:

А В = v В.
Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:
А В = (v В). (v А).

ИЛИ это (OR), «Исключающее- ИЛИ” это (XOR), ИЛИ- НЕ (Nor), «И-НЕ» (nand)

1) ИЛИ«(Логическое) ИЛИ» (or) — аналог дизъюнкции в логике. В булевой логике: Выдаёт 1 если и только если хотя бы один из входов равен 1. Операция, двойственная AND: при инвертировании выхода и всех входов (т.е. при замене 0 и 1 местами) «И» и «ИЛИ» взаимно превращается друг в друга.

2) Исключающее ИЛИ «Исключающее ИЛИ» (xor), «сложение по модулю» — аналог исключающего ИЛИ в логике. Если один из аргументов равен 0, то результат равен другому. Если один из аргументов равен 1, то результат равен отрицанию другого аргумента. Первое русское название операции обусловлено тем, что результат данной операции отличается от результата «ИЛИ» только в одном случае из 4 случаев входа — обоих 1 (случай одновременной истинности аргументов «исключается»). Ещё в русской грамматике значение данной логической связки передаётся союзом «либо». В отличие от вышеописанных «И» и «ИЛИ» данная операция является обратимой, или инволютивной:.

3)«ИЛИ-НЕ» (nor), она же «стрелка Пирса».

Стрелка Пирса (символ Лукашевича) — двуместная логическая операция, введена в рассмотрение Ч. Пирсом (Сh. Peirce). Стрелка Пирса, обычно обозначаемая, задаётся следующей истинностной таблицей:

x y

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

Таким образом, высказывание означает «ни A, ни B». Стрелка Пирса обладает тем свойством, что через неё одну выражаются все другие логические операции. Например, высказывание (отрицание A) эквивалентно высказыванию, конъюнкция высказываний A и B выражается так: дизъюнкция эквивалентна.

Таблица истинности это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний