Объединенное решение

В работе [1] приведены аналитические решения для расчета относительных термических напряжений в любой точке неограниченной пластины при ее конвективном нагреве в печи с постоянной температурой греющей среды .

Целью данного раздела является создание объединенного уравнения для аналитического определения указанных величин для тел простой геометрической формы.

Поэтому задачу определения термических напряжений в телах простой формы будем решать в предположении такой же их зависимости от температур на поверхности, в центре и среднемассовой как для плоских тел.

Для цилиндрических тел согласно [8] будут справедливы уравнения (1)...(7), (9), (10) для пластины с заменой координатной функции , входящей в уравнение (4) , где .

Следует отметить, что простому объединению «поддаются» не все величины. Так, амплитуды и легко обобщаются формулами

(4.159)

а для амплитуды

, (4.160)

где ;

— коэффициент геометрической формы, равный 1 — для пластины, 2 — цилиндра и 3 — шара; ; .

Дифференцируя уравнения (2), (3) и (6) по времени, приравнивая производную нулю и используя два члена суммы ряда, получим формулы для расчёта максимальных времен Фурье:

, (4.161)

где ; ; ; ; .

Подставляя из (18) в уравнения (2), (6) и (3), получим максимальные значения величин с учётом двух членов ряда:

(4.162)

При , имеем время и максимальное термическое напряжение на поверхности ; при , и и при , и .