Матричное представление кодов с поэлементным формированием проверочных разрядов

Представленные соотношения, например (4.32) и методы их формирования можно представить в более компактном виде- в виде матриц.

В теории кодирования широкое распространение получили две матрицы - порождающая и проверочная.

Порождающая (производящая, образующая) матрица представляет собой матрицу

, т.е. содержание n - столбцов и k - строк. Обозначается

Каждая строка порождающей матрицы представляет собой одну разрешенную КК данного кода. Входящие в порождающую матрицу КК должны быть Линейно-независимые и не нулевые.

…..джлджош

В качестве информационной матрицы удобно брать единичную матрицы размером К×К. Т.о. порождающая матрица состоит из двух частей- единичной матрицы К×К и проверочной части R×K, т.е.

Запишем порождающую матрицу G9,5 для нашего примера, используя уравнения проверок(4.32) для модефицированного кода Хэмминга.

1.Записываем единичную матрицу I -К×К (5×5)

2. К каждой строке единичной матрицы приписываем R элементов (4),причем 1 ставим на тех местах, где информационные элементы входят в формирование данных проверочных:

Используя построенную матрицу G9,5,можно получить уравнения для формирования проверочных разрядов. В формировании проверочного разряда участвуют те информационные разряды, против которых в столбце, соответствующем проверочному разряду, стоит 1. Действительно:

а₆= а₁ а₂ а₄ а₅

а₇= а₁ а₃ а₄

а₈₌ а₂ а₃ а₄ - что совпадает с выражением (4.32)

а₉₌ а₅

Алгоритм формирования проверочных разрядов можно задать матрицей, называемой проверочной. Проверочная матрица Н имеет n и r строк, т.е. размерность n × r.Проверочную матрицу можно получить из порождающей. Проверочная часть порождающей матрицы Пr,k трансионируется и к ней, П^т_{k, r}, справа приписывается единичная матрица r×r(Ir,r), т.е.

H_n,r= П^т_{k, r;} Ir,r

n - столбцов

k r

При трансионировании первая строка исходной матрицы становится 1 столбцом трансионированной, 2 строка- 2 столбцом и т.д.

Построим проверочную матрицу для нашего примера – код Хэмминга (?)

1.Трансионируем проверочную часть порождающей матрицы

2. Приписываем справа единичную матрицу r×r

По матрице Н9,4 можно построить уравнения проверок. В формировании проверочных разрядов участвуют те информационные элементы, против которых в проверочной матрице стоят 1. Действительно:

а₆= а₁ а₂ а₄ а₅

а₇= а₁ а₃ а₄

а₈= а₂ а₃ а_{4 __-} что соответствует выражению (4.32)

а₉= а₅

Порождающая и проверочная матрицы связаны соотношением:

GH^T=0

(Вы можете убедиться в этом для наших примеров). Все при умножении матриц необходимо заменить операцией суммирования по модулю 2. С помощью порождающей матрицы можно получить КК помехоустойчивого кода из заданной информационной комбинации простого кода:

F= QG,

где F- кодовый вектор длиной n разрядов

Q- информационный вектор длиной k разрядов

Проверочная матрица может использоваться для получения синдрома данного кода:

С=F · H^T

где С- вектор синдрома длиной r

F- принятый кодовый вектор длиной n