Матричное представление кодов с формированием проверочных элементов в целом

В циклических кодах, как мы видим, проверочные разряды формируются все сразу путем деления исходной КК простого кода на образующий полином Р(х). Поэтому порождающая матрица G_n_,_k находится иным способом, чем мы рассматривали ранее.

Для формирования строк порождающей матрицы разделимого циклического кода берут комбинации простого кода Q(x), содержащего единицу только в одном разряде. Эти комбинации умножают на х^r и находят Q(x)* х^r/Р(х)=R(x). Строки порождающей матрицы записывается как

Q(x)* х^r R(x)

Как и ранее, порождающую матрицу можно разделить на 2 части – трансионированную единичную и проверочную часть.

G_n_,_k= I_k_,_k, П_r_,_k (4.36)

Проверочная матрица, как и ранее, может быть получена из порождающей:

H_n,r= П^T_k,r I_r,r(4.37)

Остальные соотношения также справедливы

Пример

Построим порождающую матрицу для кода d₀=3 и (7,4). Р(х)= х³+х+1→ 1011

1 0 0 0 0 0 0 1

0 1 1 0 0 0 1 0

I_k_,_k = I_4,4= 0 0 1 0 I^T_4,4= 0 1 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0

Т.о. Q₁=0001

Q₂=0010

Q₃=0100

Q₄=1000

Формируем проверочную часть матрицы G_n_,_k. Для этого умножим выбранные КК простого кода на х^r и затем разделим на Р(х)

а) 0001* х^r→ 0001000 1011

1011

б) 0010* х^r→ 0010000 1011

1011

в) 0100* х^r→ 0100000 1011

1011

г) 1000* х^r→ 1000000 1011

1011

1100

1011

1110

1011

Т.о. порождающая матрица будет иметь вид:

0 0 0 1 0 1 1 - ошибка в 4 разряде

G_7,4= 0 0 1 0 1 1 0 - ошибка в 5 разряде

0 1 0 0 1 1 1 - ошибка в 6 разряде

1 0 0 0 1 0 1 - ошибка в 7 разряде

Построить порождающую матрицу можно и другим способом. Будем делить 1 с нулями на Р(х) и отбирать те остатки, вес которых более 2. Вес каждой строки в порождающей матрице должен быть не меньше минимального кодового расстояния. В каждой строке есть уже 1, поэтому и вес остатка ≥2

10000000 1011