Применения степенных рядов

7..

6..

4..

3..

1..

Стандартные разложения.

Разложение в ряд Маклорена элементарных функций.

Всё начинается с геометрической прогрессии. На первой лекции по рядам (см. раздел 18.1. Основные определения) мы доказали, что эта функция является суммой ряда, и ряд сходится к функции при. Итак,

.

Выпишем несколько разновидностей этого ряда. Заменив х на - х, получим

;

при замене х на получаем

;;

и т.д.; область сходимости всех этих рядов одна и та же:.

2..

Все производные этой функции в точке х =0 равны, поэтому ряд имеет вид

.

Область сходимости этого ряда - вся числовая ось (пример 6 раздела 18.2.4.3. Радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда), поэтому при. Как следствие, остаточный член формулы Тейлора. Поэтому ряд сходится к в любой точке х.

Здесь

дальше производные периодически повторяются. Ряд Маклорена имеет вид

.

Этот ряд абсолютно сходится при, и его сумма действительно равна. Остаточный член формулы Тейлора имеетвид, где или - ограниченная функция, а (это общий член предыдущего разложения).

Это разложение можно получить, как и предыдущие, последовательным вычислением производных, но мы поступим по другому. Почленно продифференцируем предыдущий ряд:

.

Сходимость к функции на всей оси следует из теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда.

Ряд для этой функции называется биномиальным рядом. Здесь мы будем вычислять производные.

… Ряд Маклорена имеет вид

Ищем интервал сходимости:, следовательно, интервал сходимости есть. Исследование остаточного члена и поведение ряда на концах интервала сходимости проводить не будем; оказывается, что при ряд абсолютно сходится в обеих точках, при ряд условно сходится в точке и расходится в точке, при расходится в обеих точках.

Здесь мы воспользуемся тем, что. Так как, то, после почленного интегрирования,

.

Область сходимости этого ряда - полуинтервал, сходимость к функции во внутренних точках следует из теоремы о почленном интегрировании степенного ряда, в точке х =1 - из непрерывности и функции, и суммы степенного ряда во всех точках, сколь угодно близких к х =1 слева. Отметим, что взяв х =1, мы найдём сумму ряда.

8. Почленно интегрируя ряд, получим разложение для функции. Выполнить все выкладки самостоятельно, выписать область сходимости.

9. Выпишем разложение функции по формуле биномиального ряда с:. Знаменатель представлен как, двойной факториал означает произведение всех натуральных чисел той же чётности, что и, не превосходящих. Разложение сходится к функции при. Почленно интегрируя его от 0 до х, получим. Оказывается, что этот ряд сходится к функции на всём отрезке; при х =1 получаем ещё одно красивое представление числа:.

18.2.6.2. Решение задач на разложение функций в ряд. Большинство задач, в которых требуется разложить элементарную функцию в ряд по степеням, решается применением стандартных разложений. К счастью, любая основная элементарная функция имеет свойство, которое позволяет это сделать. Рассмотрим ряд примеров.

1. Разложить функцию по степеням.

Решение.. Ряд сходится при.

2. Разложить функцию по степеням.

Решение.. Область сходимости:.

3. Разложить функцию по степеням.

Решение.. Ряд сходится при.

18.2.6.3.1. Приближённое вычисление значений функций. Идея таких вычислений простая. Пусть известно значение функции в точке, и функция разлагается в окрестности точки в ряд Тейлора. Тогда значение функции в точке, которое надо найти, равно, и принимается. Естественно, мы должны гарантировать, что погрешность такого приближения не превышает заданной величины. Погрешность равна остатку ряда после n -го члена (или остаточному члену формулы Тейлора), поэтому необходимо строить оценку сверху для (или). При оценке принципиально отличны два случая. Если остаток - знакочередующийся ряд, то просто оценивается по своему первому члену. Если остаток не является знакочередующимся рядом, то необходимо оценивать всю его сумму. Обычно в этом случае остаток мажорируют сходящейся геометрической прогрессией. В разделе 18.4.2. Знакочередующиеся ряды мы рассмотрели и тот, и другой случай при нахождении значений и; в разделе 7.9.2. Приближённые вычисления с помощью формулы Тейлора приведён пример вычисления значения с погрешностью.