2014-02-24
5525
Экспертный метод принятия решений (МАИ)
Зарождение широко известного Метода Анализа Иерархий, МАИ (Analytic Hierarchy Process, AHP) относят к 1971 – 1972 г.г. Разработка этого метода T. Saaty проводилась в рамках работ для Министерства обороны США и ряда других ведомств. За прошедшее время метод нашел множество применений[6]. Раз в два года проводится Международный симпозиум, посвященный МАИ (International Symposium on Analytic Hierarchy Process, ISAHP), на котором встречаются как ученые, так и практики, работающие с МАИ.
Метод анализа иерархий используется при решении многокритериальных задач, включающих как количественные, так и качественные факторы. Т.о. в общем случае он относится к классу экспертных методов.
Этап 1. Определяется цель (например, выбор наилучшего …);
Этап 2. Строим иерархию. Она представляет собой граф, который включает:
a) главную цель сравнения альтернатив;
b) набор групп однотипных критериев, влияющих на рейтинг;
c) набор однотипных альтернатив;
d) множество направленных связей, указывающих на влияния альтернатив, цели и критериев друг на друга.
| Уровни иерархии | Структурная сеть решаемой задачи | |||
| Уровень 1: Цель Уровень 2: Критерии Уровень 3: Альтернативы |
|
Рис. 1
Этап 3. Оцениваем относительные приоритеты критериев и альтернатив методом парных сравнений. В методе анализа иерархий элементы сравниваются попарно по отношению к их влиянию на общую для них характеристику.
Сравнивая набор критериев друг с другом, получим следующую матрицу (матрицу парных суждений, которая содержит оценки или суждения об относительной важности): A={aij}i,j=1,..,n. Эта матрица обратно симметрическая, т.е. имеет место свойство aij=1/aji (aij – превосходство i-го элемента над j-м.), где индексы i и j - номер строки и номер столбца, на пересечении которых стоит элемент. При сравнении элемента с самим собой имеем равную значимость, так что на пересечение строки и столбца с одинаковыми номерами заносим единицу. Поэтому главная диагональ должна состоять из единиц.
Матрица составляется для попарного сравнения критериев на втором уровне по отношению к общей цели, расположенной на первом уровне. Такие же матрицы должны быть построены для парных сравнений каждой альтернативы на третьем уровне по отношению к критериям второго уровня и т.д., если количество уровней больше трех. Для удобства матрицы представляются таблицами. В левом верхнем углу такой таблицы записывается цель (или критерий), по отношению к которым будет проводиться сравнение, и далее необходимо перечислить слева и вверху сравниваемые элементы. Примерный формат таких таблиц приведен на рисунке ниже.
|
|
Рис.2
Метод анализа иерархий одинаково пригоден как при сравнении факторов, по которым возможно их количественное сравнение, так и при сравнении факторов, по которым возможны только субъективные качественные суждения. Для проведения субъективных парных сравнений в методе анализа иерархий разработана шкала, представленная в таблице 1.
Таблице 1. Шкала относительной важности
| Отн. важность | Определение |
| Равная важность | |
| Умеренное превосходство одного над другим | |
| Существенное или сильное превосходство | |
| Значительное превосходство | |
| Очень сильное превосходство | |
| 2, 4, 6, 8 | Промежуточные решения между двумя соседними суждениями |
| Обратные величины | Если при сравнении А и Б получено одно из вышеуказанных чисел х, то при сравнении Б и А получена обратная величина 1/х |
Когда в решении задачи принятия решений участвуют несколько человек (группа), по многим суждениям могут происходить споры. Иногда группа принимает геометрическое среднее разных оценок в качестве общей оценки суждений:
Логичность средней геометрической становится очевидной, если два равноценных эксперта указывают при сравнении объектов соответственно оценки а и 1/а, что при вычислении агрегированной оценки дает единицу и свидетельствует об эквивалентности сравниваемых объектов.
Этап 4. Для определения локального приоритета каждого элемента (критерия, альтернативы) по матрице парных сравнений ищется собственный вектор этой матрицы, соответствующий максимальному собственному числу. После нормировки такой вектор называют вектором (локальных) приоритетов.
Покажем, почему для представления приоритетов выбран собственный вектор, соответствующий наибольшему собственному значению. Допустим, что сравнения основаны на точных измерениях, т.е. веса альтернатив w1, …,wn точно известны. По ним мы можем сформировать матрицу парных сравнений:
Отсюда получаем обратную симметричность
и транзитивность
Такую матрицу (с транзитивностью) называют согласованной.
Поскольку
то
(*)
т.е. w – собственный вектор матрицы А с собственным значением n. Известно следующее. Для согласованной обратно симметрической матрицы максимальное собственное число равно ее порядку n.
Для приближенного определения относительных приоритетов можно найти геометрическое среднее и с этой целью перемножить n элементов каждой строки и из полученного результата извлечь корни n-й степени.
Так как желательно иметь нормализованное решение, слегка изменим w, полагая
и заменяя w на (1/α)w. Это обеспечивает единственность, а также то, что
Этап 5. Проверяем согласованность локальных приоритетов. Известен следующий факт: если А положительная обратно-симметричная матрица, то при малых изменениях aij собственные значения также изменятся незначительно. Т.о. отклонение 
от n является мерой значительной несогласованности матрицы. Как установлено, всегда выполняется неравенство 
, причем равенство здесь имеет место тогда и только тогда, когда матрица A обладает свойством согласованности.
Индексом согласованности (ИС) называют 
. Для приближенного нахождения 
поступают следующим образом. Матрицу парных сравнений умножают справа на вектор приоритетов w, затем делят компоненты полученного вектора покомпонентно на вектор приоритетов и в качестве берут среднее значение частного.
Индекс согласованности сгенерированной случайным образом по шкале от 1 до 9 обратно-симметричной матрицы с соответствующими обратными величинами элементов, назовем случайным индексом (СИ). В Национальной лаборатории Окриджа сгенерировали СИ для матриц порядка от 1 до 15. Средние СИ увеличиваются с увеличением порядка матрицы. Ниже представлены порядок матрицы (первая строка) и средние СИ (вторая строка).
Таблица 2.
| n | ||||||||||
| Средний СИ | 0,58 | 0,9 | 1,12 | 1,24 | 1,32 | 1,41 | 1,45 | 1,49 | ||
| n | ||||||||||
| Средний СИ | 1,51 | 1,48 | 1,56 | 1,57 | 1,59 |
Отношение ИС к среднему СИ для матрицы того же порядка называется отношением согласованности (ОС):
Значение ОС, меньшее или равное 0,1, считается приемлемым. Когда данный предел нарушается, необходимо пересмотреть соответствующую матрицу парных сравнений.
Примечание. Если доступны объективные количественные измерения, то построенная по ним матрица парных сравнений будет «автоматически» согласованной.
Этап 6. Проводим иерархический синтез проблемы. Для определения глобальных приоритетов альтернатив необходимо локальные приоритеты умножить на приоритет соответствующего критерия на высшем уровне и найти суммы по каждому элементу в соответствии с критериями, на которые воздействует этот элемент.
Обозначим через w3k – вектор-стобец приоритетов k-й матрицы, расположенной на третьем уровне; w3ik - i-й элемент вектора приоритетов k-й матрицы суждений, расположенной на третьем уровне; w2k- k-й элемент вектора-строки приоритетов матрицы суждений, расположенной на втором уровне; wj – глобальный приоритет j-го элемента третьего уровня. Тогда вектор-строка глобальных приоритетов элементов третьего уровня определяется как w=(w21,…,w2n) x (w31,…,w3n), или
w1 = w311·w21 + w312 ·w22 + w313·w23 +... + w13n·w2n
w2 = w321·w21 + w322 ·w22 + w323·w23 +... + w32n·w2n
w3 = w331·w21 + w332· w22 + w333·w23 +... + w33n·w2n
и т.д. по числу альтернатив.
Пример. Мы рассмотрим небольшой пример, иллюстрирующий возможный подход к выбору ОСРВ на основе МАИ. Итак, иерархия строится с вершины – цели анализа (в нашем случае это – операционная система, которую надо выбрать), через промежуточные уровни (критерии, по которым производится сравнение вариантов) к нижнему уровню (который является перечислением альтернатив). Пример возможной иерархии для выбора одной операционной системы из трех представлен на рисунке ниже.
Рис.3. Иерархия для выбора операционной системы
Какие можно использовать критерии выбора операционной системы? Навскидку можно назвать: стоимость инструментальных средств разработки (как программных, так и аппаратных), размер лицензионных отчислений при тиражировании готового изделия, стоимость технического сопровождения, совокупная зарплата команды разработчиков при разработке и отладке изделия, стоимость процедуры тиражирования изделия, способность системы обеспечить распределенную обработку информации, поддержка режима жесткого реального времени, наличие средств защиты информации от несанкционированного доступа, гибкость и масштабируемость системы, поддержка многопроцессорности, поддержка аппаратных графических ускорителей и т.д. Для ряда предприятий важным критерием выбора являются возможность и стоимость выполнения заказных разработок дополнительных компонент операционной системы (например, драйверов к специфичной аппаратуре собственного производства). Можно назвать и другие критерии – лицензионная и патентная чистота операционной системы, технологическая независимость от поставщика системного программного обеспечения (т.е. возможность быстрого перехода на новую платформу с максимальным сохранением кадров и сделанных наработок). Разумеется, приведенные критерии с одной стороны, необязательны, а с другой – не исчерпывающие.
А теперь проиллюстрируем МАИ на наглядном примере. Пусть имеется три операционные системы ОС-1, ОС-2 и ОС-3. И пусть некое предприятие выбирает для проектируемых изделий операционную систему. Зададим критерии оценки:
А1 – стоимость инструментальных средств;
А2 – доступность заказных разработок;
А3 – поддержка режима жесткого реального времени (режим работы системы, при котором нарушение временных ограничений равнозначно отказу системы);
А4 – наличие обученного персонала.
Допустим, что после обсуждений эксперты предприятия указали относительные оценки заданных критериев. На предприятии получилась следующая таблица.
Таблица 2. Относительные веса критериев для предприятия
| А1 | А2 | А3 | А4 | Произведение | W | W/ Σ | |
| A1 | 4 √189= 3,7 | 0,557 | |||||
| A2 | 1/9 | 1/5 | 1/9 | 0,003 | 4 √0,003= 0,234 | 0,0352 | |
| A3 | 1/7 | 1/7 | 0,1 | 4 √0,1= 0,562 | 0,0847 | ||
| A4 | 1/3 | 4 √21= 2,14 | 0,322 | ||||
| Σ = 6,636 |
Следующим шагом выполняется сравнение операционных систем по каждому критерию отдельно. Данные об операционных системах по перечисленным выше критериям представлены в таблице ниже.
Таблица 3. Данные об операционных системах
| А1 | А2 | А3 | А4 | |
| ОС-1 | 150 у.е. | Нет | Нет | Да |
| ОС-2 | 30000 у.е. | Нет | Да | Нет |
| ОС-3 | 40000 у.е. | Да | Да | Нет |
Таблица 4. Сравнительные оценки систем по критерию А1
| A1 | ОС-1 | ОС-2 | ОС-3 | W1 | W1 / Σ |
| ОС-1 | 3 √63=3,98 | 0,785 | |||
| ОС-2 | 1/7 | 3 √ (3/7)=0,754 | 0,149 | ||
| ОС-3 | 1/9 | 1/3 | 3 √ (1/27)=0,333 | 0,066 | |
| Σ = 5,067 |
Аналогично системы оцениваются по остальным критериям. Результаты оценок операционных систем по всем критериям поместим в таблице ниже.
Таблица 5. Нормированные оценки систем по всем критериям
| A1 | A2 | A3 | A4 | |
| ОС-1 | 0,785 | 0,01 | 0,005 | 0,977 |
| ОС-2 | 0,149 | 0,01 | 0,497 | 0,01 |
| ОС-3 | 0,066 | 0,977 | 0,497 | 0, 01 |
В этом месте пути предприятий X и Y вновь расходятся, т.к. у экспертов каждого предприятия представления о важности рассматриваемых критериев не совпадают.
Для получения результатов необходимо для каждой из рассматриваемых операционных систем просуммировать нормализованные критерии, умноженные на свои веса. Для предприятия получим следующую таблицу.
Таблица 6. Результаты для предприятия
| Результат | |
| ОС-1 | 0,557* 0,785+0,0352*0,01+0,0847*0,005+0,322*0,977=0,752 |
| ОС-2 | 0,557* 0,149+0,0352*0,01+0,0847*0,497+0,322*0,01=0,129 |
| ОС-3 | 0,557* 0,066+0,0352*0,977+0,0847*0,497+0,322*0,01=0,116 |
В итоге получаем, что для решения поставленных задач предприятию больше всего подходит операционная система ОС-1.
