double arrow

Аддитивная функция полезности

Таблица 1

Классификация методов решения МКЗ

Классификация методов решения МКЗ по существу является классификацией подходов к решению МКЗ, каждый из которых характеризует класс методов.

Использование max-min-принципа выбора наиболее предпочти тельного объекта. В этих методах принципы выбора применя ются к критериям в относительных единицах. Рассмотрим использование данного принципа для решения дискретных и непрерывных задач.

Пусть поставлена дискретная МКЗ, т.е. задана матрица относительных значений критериев (табл.1.)

Относительные значения критериев

Варианты          
  0.35 0.60 0.80 0.25 0.25
  0.20 0.80 0.50 0.70 0.20
  0.40 0.50 0.40 0.20 0.20
  0.30 0.70 0.60 0.40 0.30
  0.70 0.25 0.50 0.80 0.25

Оценка каждого объекта (варианта) производится по минимальному значению из всех критериев.

Наиболее предпочтительный объект выбирается из принципа. В рассматриваемом примере это объект 4.

Принцип max-min отражает осторожный подход (без риска) к выбору объекта по многим критериям. Лексикографические методы основаны на понятии лексико графического порядка (< L) векторов. Остановимся на нем подробнее.

Пусть заданы два вектора и. Между векторами устанавливается бинарное отношение лексикографического порядка, если

Применительно к многокритериальным задачам для объектов и устанавливается отношение лексикографическо го порядка:

(символ "" отражает предпочтение значения критерия). Другими словами, между объектами устанавливается отношение предпочтения, если выполняется отношение лексикографическо гопорядка.

Очевидно, что при установлении лексикографи ческого порядка критерии должны быть упорядочены по важности, т.е. – самый важный (значимый) критерий, – следующий по важности, a – наименее важный. После упорядочения критериев по важности установление лексикографического порядка производится по следующей процедуре:

a. устанавливается отношение предпочтения между объекта ми на основе значений первого (самого важного) критерия;

b. если значения первого критерия для нескольких объектов одинаково, то их упорядочивают между собой на основе значений второго по важности критерия. Если же найдутся одинаковые объекты по двум критериям, то они упорядочива ются на основе значений и т.д.

Чтобы обоснованно можно было использовать вышеопи санную процедуру упорядочения объектов, необходимо, чтобы каждый критерий доминировал все последующие.

Условие доминирования всех последующих означает, что порядок предпочтения объектов устанавливается только на основе и не зависит от значений. Аналогично, доминирует, если при равенстве значений предпо чтение объектов зависит только от и не зависит от.

На первый взгляд, условие доминирования критериев является очень жестким и может выполняться в редких случаях. Однако надо иметь в виду, что, сократив исходное множество объектов путем установления на критерии таких ограничений, чтобы были относительно небольшие значения, можно добиться того, что всё множество объектов мало будет отличаться друг от друга по критериям. Тем самым, предпочтение объектов будет определяться только критерием, т.е. он будет доминировать все последующие критерии.

Для решения многокритериальных задач, в которых большое число неравнозначных единичных критериев, лекси кографические методы используются для сокращения количес тва критериев. Для этого разбивают всё множество критериев на две группы:

1) – критерии, по которым необходимо осуществлять выбор объектов;

2) – критерии, на значение которых можно только наложить ограничения.

С помощью критериев корректируется множество допустимых объектов, на котором в последующем решается многокритериальная задача.

Интерактивные (человеко-машинные) методы. В основу этих методов положены эвристические алгоритмы выделения наиболее предпочтительных объектов. Интерактивные методы ориентированы на решение МКЗ, в которых требуется выделить наиболее предпочтительный объект (решение). В некоторых методах удается упорядочить объекты по предпочтению.

В основу каждого метода положен определенный подход к выбору наиболее предпочтительного объекта. В большинстве случаев такие эвристические подходы создаются на основе анализа и решения практических задач. Так как многокри териальные задачи часто встречаются в практике, и, значит, их постановок большое число, то и интерактивных методов значи тельное количество.

Значительное число интерактивных методов ориентированы на установление бинарные отношения между объектами. В этих методах между объектами устанавливаются отношения: предпочтения (), безразличия (~) или несравнимости (N). Одним из первых методов этой группы был метод ELECTRE, получивший свое развитие в методе PROMETHEE. К этой же группе относится и метод ORESTE, но он существенно отличается от вышеперечисленных методов.

Аксиоматический подход к решению МКЗ связан с углублен ным анализом структуры предпочтений лица, принимающего решения. В результате выявляются свойства, на основании которых делается вывод о функции (функции полезности), описывающей структуру предпочтений ЛПР. Данный подход отражен в теории полезности. Основная трудность в использовании данного подхода заключается в трудоемкости анализа структуры предпочтений лица, принимающего решения.

Следует отметить, что в практических задачах число критериев достигает десяти и более, поэтому сформировать одну функцию полезности крайне затруднительно. В таких задачах используется подход, основанный на построении многоуровневой системы критериев. Тогда проблема оценки объектов разбивается на множество неболь ших задач агрегирования критериев на каждом уровне критериев.

Эта наиболее простая и часто употребляемая функция полезности имеет вид:

,

где Uj (kj) – нормированные условные функции полезности; Wj шкалирующие коэффициенты.

Чтобы аддитивная функция изменялась в интервале [0;1], на Wj накладывается ограничение.

Рассмотрим условия её существования в развитии мультип ликативной функции полезности. Дело в том, что аддитивная функция является частным случаем мультипликативной функции.

Теорема 3.8. Пусть выполняются условия существо вания мультипликативной функции полезности и сумма шкалирующих коэффициентов равна единице, тогда имеет место аддитивная функция полезности.

Доказательство. По условию теоремы

,

тогда масштабный коэффициент C мультипликативной функции равен пулю. Проанализируем, к какому виду преобразуется мультипликативная функция при стремлении C к нулю. С целью более простого доказательства рассмотрим случай трех критериев, при этом общность (число критериев произвольное) не теряется. Перепишем мультипликативную функцию для трех критериев:

1+ CU (k1, k2, k3)=(1 + CW 1 U 1(k1))(1 + CW 2 U 2(k2))(1 + CW 3 U 3(k3)).

Упростив данное выражение, получим

При стремлении C к нулю получим

.

Из-за широкого использования аддитивной функции в практике, теория её наиболее развита, поэтому для нее разработано несколько аксиоматик.

На практике, для проверки условий применения аддитивной функции полезности можно использовать любую из аксиоматик. Обычно выбирается та, проверка которой проста и хорошо интерпретируется в конкретной решаемой многокритериальной задаче.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями: