2014-02-09
1100
Евклидовы пространства.
Определение. Вещественное линейное пространство 
называется евклидовым, если на нем выделена симметричная положительно определенная билинейная форма.
Другими словами, на пространстве выделена билинейная форма 
, обладающая свойствами:
1). =
;
2). 
=
+
;
3). 
для всех 
.
Примеры. 1). Скалярное произведение в обычном трехмерном пространстве геометрических векторов превращает его в евклидово пространство.
В общем случае эту выделенную форму на произвольном пространстве тоже будем называть скалярным произведением.
2). Пусть - арифметическое векторное пространство строк длины 
. Введем на скалярное произведение следующим образом. Если 
, 
, то 
. Легко проверить, что эта форма билинейная, симметричная и положительно определенная.
3). Пусть - линейное пространство функций, непрерывных на отрезке 
. Можно задать скалярное произведение в этом пространстве таким образом:
.
16.2. Длина вектора в евклидовом пространстве. Пусть - евклидово пространство со скалярным произведением .
Определение. Длиной (нормой) вектора 
будем называть неотрицательное действительное число
.
Заметим, что если , то 
. Далее, 
, 
R.
Вектор длины 1 называют нормированным. Любой вектор можно нормировать, умножив его на подходящее число, а именно для вектора 
имеем:
.
