Евклидовы пространства.
Определение. Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если на нем выделена симметричная положительно определенная билинейная форма.
Другими словами, на пространстве выделена билинейная форма , обладающая свойствами:
1). =;
2). =+;
3). для всех .
Примеры. 1). Скалярное произведение в обычном трехмерном пространстве геометрических векторов превращает его в евклидово пространство.
В общем случае эту выделенную форму на произвольном пространстве тоже будем называть скалярным произведением.
2). Пусть - арифметическое векторное пространство строк длины . Введем на скалярное произведение следующим образом. Если , , то . Легко проверить, что эта форма билинейная, симметричная и положительно определенная.
3). Пусть - линейное пространство функций, непрерывных на отрезке . Можно задать скалярное произведение в этом пространстве таким образом:
.
16.2. Длина вектора в евклидовом пространстве. Пусть - евклидово пространство со скалярным произведением .
|
|
Определение. Длиной (нормой) вектора будем называть неотрицательное действительное число
.
Заметим, что если , то . Далее, , R.
Вектор длины 1 называют нормированным. Любой вектор можно нормировать, умножив его на подходящее число, а именно для вектора имеем:
.