Сортировка упорядоченным двоичным деревом

Алгоритм складывается из построения упорядоченного двоичного дерева и последующего его обхода. Если нет необходимости в построении всего линейного упорядоченного списка значений, то нет необходимости и в обходе дерева, в этом случае применяется поиск в упорядоченном двоичном дереве. Алгоритмы работы с упорядоченными двоичными деревьями подробно рассмотрены в главе 6. Отметим, что порядок алгоритма - O(N*log₂N)), но в конкретных случаях все зависит от упорядоченности исходной последовательности, который влияет на степень сбалансированности дерева и в конечном счете - на эффективность поиска.

ТУРНИРНАЯ СОРТИРОВКА. Этот метод сортировки получил свое название из-за сходства с кубковой системой проведения спортивных соревнований: участники соревнований разбиваются на пары, в которых разыгрывается первый тур; из победителей первого тура составляются пары для розыгрыша второго тура и т.д. Алгоритм сортировки состоит из двух этапов. На первом этапе строится дерево: аналогичное схеме розыгрыша кубка.

Например, для последовательности чисел: 16 21 8 14 26 94 30 1 такое дерево будет иметь вид пирамиды, показанной на рис. 3.13.

Рис.3.13. Пирамида турнирной сортировки

В примере 3.13 приведена программная иллюстрация алгоритма турнирной сортировки. Она нуждается в некоторых пояснениях. Построение пирамиды выполняется функцией Create_Heap. Пирамида строится от основания к вершине. Элементы, составляющие каждый уровень, связываются в линейный список, поэтому каждый узел дерева помимо обычных указателей на потомков - left и right - содержит и указатель на "брата" - next. При работе с каждым уровнем указатель содержит начальный адрес списка элементов в данном уровне. В первой фазе строится линейный список для нижнего уровня пирамиды, в элементы которого заносятся ключи из исходной последовательности. Следующий цикл while в каждой своей итерации надстраивает следующий уровень пирамиды. Условием завершения этого цикла является получение списка, состоящего из единственного элемента, то есть, вершины пирамиды. Построение очередного уровня состоит в попарном переборе элементов списка, составляющего предыдущий (нижний) уровень. В новый уровень переносится наименьшее значение ключа из каждой пары.

Следующий этап состоит в выборке значений из пирамиды и формирования из них упорядоченной последовательности (процедура Heap_Sort и функция Competit). В каждой итерации цикла процедуры Heap_Sort выбирается значение из вершины пирамиды - это наименьшее из имеющихся в пирамиде значений ключа. Узел-вершина при этом освобождается, освобождаются также и все узлы, занимаемые выбранным значением на более низких уровнях пирамиды. За освободившиеся узлы устраивается (снизу вверх) состязание между их потомками.

Так, для пирамиды, исходное состояние которой было показано на рис 3.13, при выборке первых трех ключей (1, 8, 14) пирамида будет последовательно принимать вид, показанный на рис.3.14 (символом x помечены пустые места в пирамиде).

Рис.3.14. Пирамида после последовательных выборок

Процедура Heap_Sort получает входной параметр ph - указатель на вершину пирамиды и формирует выходной параметр a - упорядоченный массив чисел. Вся процедура Heap_Sort состоит из цикла, в каждой итерации которого значение из вершины переносится в массив a, а затем вызывается функция Competit, которая обеспечивает реорганизацию пирамиды в связи с удалением значения из вершины.

Функция Competet рекурсивная, ее параметром является указатель на вершину того поддерева, которое подлежит реорганизации. В первой фазе функции устанавливается, есть ли у узла, составляющего вершину заданного поддерева, потомок, значение данных в котором совпадает со значением данных в вершине. Если такой потомок есть, то функция Competit вызывает сама себя для реорганизации того поддерева, вершиной которого является обнаруженный потомок. После реорганизации адрес потомка в узле заменяется тем адресом, который вернул рекурсивный вызов Competit. Если после реорганизации оказывается, что у узла нет потомков (или он не имел потомков с самого начала), то узел уничтожается и функция возвращает пустой указатель. Если же у узла еще остаются потомки, то в поле данных узла заносится значение данных из того потомка, в котором это значение наименьшее, и функция возвращает прежний адрес узла.

{===== Программный пример 3.13 =====}

{ Турнирная сортировка }

type nptr = ^node; { указатель на узел }

node = record { узел дерева }

key: integer; { данные }

left, right: nptr; { указатели на потомков }

next: nptr; { указатель на "брата" }

end;

{ Создание дерева - функция возвращает указатель на вершину

созданного дерева }

Function Heap_Create(a: Seq): nptr;

var i: integer;

ph2: nptr; { адрес начала списка уровня }

p1: nptr; { адрес нового элемента }

p2: nptr; { адрес предыдущего элемента }

pp1, pp2: nptr; { адреса соревнующейся пары }

begin

ph2:=nil; {Фаза 1- построение самого нижнего уровня пирамиды}

for i:=1 to n do

begin New(p1); { выделение памяти для нового эл-та }

p1^.key:=a[i]; { запись данных из массива }

p1^.left:=nil; p1^.right:=nil; { потомков нет }

{ связывание в линейный список по уровню }

if ph2=nil then ph2:=p1 else p2^.next:=p1; p2:=p1;

end; { for } p1^.next:=nil;

{ Фаза 2 - построение других уровней }

while ph2^.next<>nil do { цикл до вершины пирамиды }

begin pp1:=ph2; ph2:=nil; { начало нового уровня }

while pp1<>nil do { цикл по очередному уровню }

begin pp2:=pp1^.next; New(p1);

{ адреса потомков из предыдущего уровня }

p1^.left:=pp1; p1^.right:=pp2; p1^.next:=nil;

{ связывание в линейный список по уровню }

if ph2=nil then ph2:=p1 else p2^.next:=p1; p2:=p1;

{ состязание данных за выход на уровень }

if (pp2=nil)or(pp2^.key>pp1^.key) then p1^.key:=pp1^.key

else p1^.key:=pp2^.key; { переход к следующей паре }

if pp2<>nil then pp1:=pp2^.next else pp1:=nil;

end; { while pp1<>nil }

end; { while ph2^.next<>nil }

Heap_Create:=ph2; end;

{ Реорганизация поддерева - функция возвращает указатель на вершину

реорганизован-ного дерева }

Function Competit(ph: nptr): nptr;

begin

{ определение наличия потомков, выбор потомка для реорганизации,

реорганизация его }

if (ph^.left<>nil)and(ph^.left^.key=ph^.key) then

ph^.left:=Competit(ph^.left)

else if (ph^.right<>nil) then

ph^.right:=Competit(ph^.right);

if (ph^.left=nil)and(ph^.right=nil) then

{ освобождение пустого узла }

begin Dispose(ph); ph:=nil; end;

else { состязание данных потомков }

if (ph^.left=nil) or

((ph^.right<>nil)and(ph^.left^.key>ph^.right^.key)) then

ph^.key:=ph^.right^.key

else ph^.key:=ph^.left^.key;

Competit:=ph; end;

Procedure Heap_Sort(var a: Seq); { Сортировка }

var ph: nptr; { адрес вершины дерева }

i: integer;

begin

ph:=Heap_Create(a); { создание дерева }

for i:=1 to N do { выборка из дерева }

begin a[i]:=ph^.key; { перенос данных из вершины в массив }

ph:=Competit(ph); { реорганизация дерева }

end; end;

Построение дерева требует N-1 сравнений, выборка - N*log₂(N) сравнений. Порядок алгоритма, таким образом, O(N*log₂(N)). Сложность операций над связными структурами данных, однако, значительно выше, чем над статическими структурами. Кроме того, алгоритм неэкономичен в отношении памяти: дублирование данных на разных уровнях пирамиды приводит к тому, что рабочая область памяти содержит примерно 2*N узлов.

СОРТИРОВКА ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫМ ДЕРЕВОМ. В двоичном дереве, которое строится в этом методе сортировки для каждого узла справедливо следующее утверждение: значения ключа, записанное в узле, меньше, чем ключи его потомков. Для полностью упорядоченного дерева имеются требования к соотношению между ключами потомков. Для данного дерева таких требований нет, поэтому такое дерево и называется частично упорядоченным. Кроме того, дерево должно быть абсолютно сбалансированным. Это означает не только то, что длины путей к любым двум листьям различаются не более, чем на 1, но и то, что при добавлении нового элемента в дерево предпочтение всегда отдается левой ветви/подветви, пока это не нарушает сбалансированность. Более подробно деревья рассматриваются в гл.6.

Например, последовательность чисел: 3 20 12 58 35 30 32 28 будет представлена в виде дерева, показанного на рис. 3.15.

Рис.3.15. Частично упорядоченное дерево

Представление дерева в виде пирамиды наглядно показывает, что для такого дерева можно ввести понятия "начала" и "конца". Началом, естественно, будет считаться вершина пирамиды, а концом - крайний левый элемент в самом нижнем ряду (на рис.3.15 это 58).

Для сортировки этим методом должны быть определены две операции: вставка в дерево нового элемента и выборка из дерева минимального элемента; причем выполнение любой из этих не должно нарушать ни сформулированной выше частичной упорядоченности дерева, ни его сбалансированности.

Алгоритм вставки состоит в следующем. Новый элемент вставляется на первое свободное место за концом дерева (на рис.3.15 это место обозначено символом "*"). Если ключ вставленного элемента меньше, чем ключ его предка, то предок и вставленный элемент меняются местами. Ключ вставленного элемента теперь сравнивается с ключом его предка на новом месте и т.д. Сравнения заканчиваются, когда ключ нового элемента окажется больше ключа предка или когда новый элемент "выплывет" в вершину пирамиды. Пирамида, показанная на рис.3.15, построена именно последовательным включением в нее чисел из приведенного ряда. Если мы включим в нее, например, еще число 16, то пирамида примет вид, представленный на рис.3.16. (Символом "*" помечены элементы, перемещенные при этой операции.)

Процедура выборки элемента несколько сложнее. Очевидно, что минимальный элемент находится в вершине. После выборки за освободившееся место устраивается состязание между потомками, и в вершину перемещается потомок с наименьшим значением ключа. За освободившееся место перемешенного потомка состязаются его потомки и т.д., пока свободное место не опустится до листа пирамиды. Состояние дерева после выборки из него минимального числа (3) показано на рис.3.17. а).

Рис.3.16. Частично упорядоченное дерево, включение элемента

Рис.3.17. Частично упорядоченное дерево, исключение элемента

Упорядоченность дерева восстановлена, но нарушено условие его сбалансированности, так как свободное место находится не в конце дерева. Для восстановления сбалансированности последний элемент дерева переносится на освободившееся место, а затем "всплывает" по тому же алгоритму, который применялся при вставке. Результат такой балансировки показан на рис.3.17.б.

Прежде, чем описывать программный пример, иллюстрирующий сортировку частично упорядоченным деревом - пример 3.14, рассмотрим способ представления дерева в памяти. Это способ представления двоичных деревьев в статической памяти (в одномерном массиве), который может быть применен и в других задачах. Элементы дерева располагаются в соседних слотах памяти по уровням. Самый первый слот выделенной памяти занимает вершина. Следующие 2 слота - элементы второго уровня, следующие 4 слота - третьего и т.д.

Дерево с рис.3.17.б, например, будет линеаризовано таким образом:

12 16 28 20 35 30 32 58

В таком представлении отпадает необходимость хранить в составе узла дерева указатели, так как адреса потомков могут быть вычислены. Для узла, представленного элементом массива с индексом i индексы его левого и правого потомков будут 2*i и 2*i+1 соответственно. Для узла с индексом i индекс его предка будет i div 2.

После всего вышесказанного алгоритм программного примера 3.14 не нуждается в особых пояснениях. Поясним только структуру примера. Пример оформлен в виде законченного программного модуля, который будет использован и в следующем примере. Само дерево представлено в массиве tree, переменная nt является индексом первого свободного элемента в массиве. Входные точки модуля:

процедура InitST - инициализация модуля, установка начального значения nt;

функция InsertST - вставка в дерево нового элемента; функция возвращает false, если в дереве нет свободного места, иначе - true;

функция DeleteST - выборка из дерева минимального элемента;

функция возвращает false, если дерево пустое, иначе - true;

функция CheckST - проверка состояния дерева: ключ минимального элемента возвращается в выходном параметре, но элемент не исключается из дерева; а возвращаемое значение функции - 0 – если дерево пустое, 1 - если дерево заполнено не до конца, 2 – если дерево заполнено до конца.

Кроме того в модуле определены внутренние программные единицы:

функция Down - обеспечивает спуск свободного места из вершины пирамиды в ее основание, функция возвращает индекс свободного места после спуска;

процедура Up - обеспечивающая всплытие элемента с заданного места.

{===== Программный пример 3.14 =====}

Unit SortTree; { Сортировка частично упорядоченным деревом }

Interface

Procedure InitSt;

Function CheckST(var a: integer): integer;

Function DeleteST(var a: integer): boolean;

Function InsertST(a: integer): boolean;

Implementation

Const NN=16;

var tr: array[1..NN] of integer; { дерево }

nt: integer; { индек последнего эл-та в дереве }

Procedure Up(l: integer); {Всплытие эл-та с места с индексом l }

var h: integer; {l - индекс узла, h - индекс его предка }

x: integer;

begin h:=l div 2; { индекс предка }

while h>0 do { до начала дерева }

if tr[l]<tr[h] then { ключ узла меньше, чем у предка }

begin x:=tr[l]; tr[l]:=tr[h]; tr[h]:=x; { перестановка }

l:=h; h:=l div 2; { предок становится текущим узлом }

end else h:=0; { конец всплытия }

end; { Procedure Up }

{** Спуск свободного места из начала дерева **}

Function Down: integer;

var h, l: integer; { h - индекс узла, l - индекс его потомка }

begin h:=1; { начальный узел - начало дерева }

while true do

begin l:=h*2; { вычисление индекса 1-го потомка }

if l+1<=nt then { у узла есть 2-й потомок }

begin if tr[l]<=tr[l+1] then { 1-й потомок меньше 2-го }

begin tr[h]:=tr[l]; {1-й потомок переносится в тек. узел }

h:=l; end { 1-й потомок становится текущим узлом }

else { 2-й потомок меньше 1-го }

begin tr[h]:=tr[l+1]; {2-й потомок переносится в текущ.узел }

h:=l+1; end; {2-й потомок становится текущим узлом }

end else

if l=nt then { 1-й потомок есть, 2-го нет }

begin tr[h]:=tr[l]; {1-й потомок переносится в текущ.узел }

Down:=l; Exit; { спуск закончен }

end else { потомков нет - спуск закончен }

begin Down:=h; Exit; end;

end; { while }

end; { Function Down }

Procedure InitSt; {** Инициализация сортировки деревом **}

begin nt:=0; { дерево пустое }

end; { Procedure InitSt }

{** Проверка состояния дерева **}

Function CheckST(var a: integer): integer;

begin a:=tr[1]; { выборка эл-та из начала }

case nt of { формирование возвращаемого значения функции }

0: { дерево пустое } CheckSt:=0;

NN: { дерево полное } CheckSt:=2;

else { дерево частично заполнено } CheckSt:=1;

end;

end; { Function CheckST }

{** Вставка эл-та a в дерево **}

Function InsertST(a: integer): boolean;

begin

if nt=NN then { дерево заполнено - отказ }

InsertST:=false else { в дереве есть место }

begin nt:=nt+1; tr[nt]:=a; { запись в конец дерева }

Up(nt); InsertSt:=true; { всплытие }

end; end; { Function InsertST }

{** Выборка эл-та из дерева **}

Function DeleteST(var a: integer): boolean;

var n: integer;

begin

if nt=0 then { дерево пустое - отказ }

DeleteST:=false else { дерево не пустое }

begin a:=tr[1]; { выборка эл-та из начала }

n:=Down; { спуск свободного места в позицию n }

if n<nt then begin

{ если свободное место спустилось не в конец дерева }

tr[n]:=tr[nt]; { эл-т из конца переносится на своб.место }

Up(n); end; { всплытие }

nt:=nt-1; DeleteSt:=true;

end; end; { Function DeleteST }

END.

Если применять сортировку частично упорядоченным деревом для упорядочения уже готовой последовательности размером N, то необходимо N раз выполнить вставку, а затем N раз - выборку. Порядок алгоритма - O(N*log2(N)), но среднее значение количества сравнений примерно в 3 раза больше, чем для турнирной сортировки. Но сортировка частично упорядоченным деревом имеет одно существенное преимущество перед всеми другими алгоритмами. Дело в том, что это самый удобный алгоритм для "сортировки on-line", когда сортируемая последовательность не зафиксирована до начала сортировки, а меняется в процессе работы и вставки чередуются с выборками. Каждое изменение (добавление/удаление элемента) сортируемой последовательности потребует здесь не более, чем 2*log2(N) сравнений и перестановок, в то время, как другие алгоритмы потребуют при единичном изменении переупорядочивания всей последовательности "по полной программе".

Типичная задача, которая требует такой сортировки, возникает при сортировке данных на внешней памяти (файлов). Первым этапом такой сортировки является формирование из данных файла упорядоченных последовательностей максимально возможной длины при ограниченном объёме оперативной памяти. Приведенный ниже программный пример (пример 3.15) показывает решение этой задачи.

Последовательность чисел, записанная во входном файле, поэлементно считывается, и числа по мере считывания включаются в дерево. Когда дерево оказывается заполненным, очередное считанное из файла число сравнивается с последним числом, выведенным в выходной файл. Если считанное число не меньше последнего выведенного, но меньше числа, находящегося в вершине дерева, то в выходной файл выводится считанное число. Если считанное число не меньше последнего выведенного, и не меньше числа, находящегося в вершине дерева, то в выходной файл выводится число, выбираемое из дерева, а считанное число заносится в дерево. Наконец, если считанное число меньше последнего выведенного, то поэлементно выбирается и выводится все содержимое дерева, и формирование новой последовательности начинается с записи в пустое дерево считанного числа.

{===== Программный пример 3.15 =====}

{ Формирование отсортированных последовательностей в файле }

Uses SortTree;

var x: integar; { считанное число }

y: integer; { число в вершине дерева }

old: integer; { последнее выведенное число }

inp: text; { входной файл }

out: text; { выходной файл }

bf: boolean; { признак начала вывода последовательности }

bx: boolean; { рабочая переменная }

begin

Assign(inp,'STX.INP'); Reset(inp);