Элементы аналитической геометрии 49

Квадратичные формы 45

Линейные операторы 41

Арифметическое векторное пространство 36

Векторы в трехмерном пространстве 29

Системы линейных уравнений 15

Матрицы и определители 3

1.1 Матрицы..................................................................................................................... 3

1.2 Операции над матрицами......................................................................................... 4

1.3 Определители второго порядка......................................................................... 6

1.4 Определители третьего порядка.............................................................................. 7

1.5 Свойства определителей..................................................................................... 8

1.6 Символ суммирования........................................................................................ 9

1.7 Миноры и алгебраические донолнепия.................................................................. 9

1.8 Определители гг-го порядка.................................................................................. 10

1.9 Метод элементарных преобразований вычисления определителя.... 10

1.10 Ранг матрицы...................................................................................................... 11

1.11 Метод элементарных преобразований вычисления ранга.................................. 12

1.12 Обратная матрица и ее нахоясдение методом ирисоединенной матрицы 13

2.1 Основные понятия.................................................................................................. 15

2.2 Метод Крамера......................................................................................................... 16

2.3 Матричная запись системы линейных уравнений.............................................. 18

2.4 Метод обратной матрицы....................................................................................... 19

2.5 Матричные уравнения............................................................................................ 20

2.6 Метод Гаусса............................................................................................................ 20

2.7 Несовместная система............................................................................................. 24

2.8 Неопределенная система........................................................................................ 25

2.9 Система линейных однородных уравнений........................................................ 27

2.10 Понятие о модели Леонтьева................................................................................. 28

3.1 Основные понятия................................................................................................... 29

3.2 Числовая проекция вектора.............................................................................. 30

3.3 Декартова система координат................................................................................ 30

3.4 Скалярное произведение........................................................................................ 33

3.5 Выраж;ение скалярного произведения через координаты.................................. 33

3.6 Угол меясду двумя векторами................................................................................ 35

4.1 Основные понятия.................................................................................................. 36

4.2 Линейная независимость........................................................................................ 37

August 31, 2013 Курбатов В.Г. 2

4.3 Размерность и базис................................................................................................ 38

4.4 Скалярное произведение в гг-мерном иространстве.......................................... 39

4.5 Ортогональные векторы................................................................................... 40

5.1 Понятие линейного оператора............................................................................... 41

5.2 Матрица линейного оператора.............................................................................. 41

5.3 Собственные значения и собственные векторы.................................................. 43

6.1 Определение квадратичной формы, ее матрица.................................................. 45

6.2 Канонический вид и закон инерции..................................................................... 46

6.3 Знакоонределенные квадратичные формы........................................................... 47

7.1 Уравнение линии на плоскости............................................................................. 49

7.2 Уравнение прямой с угловым коэффициентом................................................... 49

7.3 Общее уравнение прямой....................................................................................... 51

7.4 Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки............................... 51

7.5 Условие параллельности и нернендикуляриости прямых.................................. 52

7.6 Кривые 2-го порядка, их общее уравнение.......................................................... 53

7.7 Выделение полного квадрата................................................................................. 54

7.8 Эллипс................................................................................................................ 55

7.9 Гипербола................................................................................................................. 56

7.10 Парабола................................................................................................................... 58

7.11 Уравнение плоскости.............................................................................................. 58

7.12 Уравнение прямой................................................................................................... 61

Глава 1

Матрицы и определители

1.1 Матрицы

Матрицей называют прямоугольную таблицу, состоящую из чисел. Для краткого обозначения матриц обычно используют латинские буквы A,B,C,.... Например,

1 2 14 7' A= \ -1 2 - 3 - 2

2 8 9 0,5

В матрицах выделяют строки и столбцы.

Когда говорят о произвольной матрице, ее обычно записывают в виде

A =

a11 a12... a1n a 21 a ₂₂... a 2 _n

am 1 am 2 ... a_mn

Числа aij называют элемеитами матрицы. Заметим, что элементы матрицы a_{i 1}, a_{i 2}, имеющие одинаковый первый индекс i, образуют i -ю строку матрицы. Аналогично, элементы a1j, a2j,..., amj образуют j -ый столбец. Таким образом, первый индекс i в обозначении a_ij совпадает с номером строки, а второй j — с номером столбца.

Если хотят подчеркнуть, что матрица A состоит из элементов a_ij, то пишут A = {aij}.

Выраж;еиие-'-) m × n называют размером матрицы. Например, у матрицы

/ 1 2 14 7' A = - 1 2 - 3 - 2 \ 2 8 9 0,5

размер 3 × 4.

Две матрицы A = {aij} и B = {b_ij} считают равными, если совпадают их размеры и равны соответствующие элементы, т. е. a_ij = b_ij для всех i я j.

^^ Говоря "выражение" вместо "число", имеют в виду, что умножение в конструкции т×п остается невыполненным.

August 31, 2013 Курбатов В.Г.

Если m = n, то матрицу называют квадратной, а если m = n, то — просто прямоугольной.

Пусть A — квадратная матрица. Ее главной диагональю или просто диагональю называют множество элементов a ₁₁, a 22, •••, a_nn, имеющих одинаковые индексы, т. е. главная диагональ идет из левого верхнего угла в правый нижний, а побочная диагональ — из левого ниж;него угла в правый верхний.

Квадратную матрицу называют диагональной, если все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны пулю:

fd1 0 ... 0\ 0 d ₂ ... 0

d

Например,

Если все di равны 1, то матрицу называют единичной и обозначают буквой E, а если все di равны О, то — нулевой и обозначают буквой O:

0 0

E =

10 01

0 0 ... 1

O =

0 0

0 0 0 0

0 0

Например,

E =

10 01

Матрицу называют треугольной (или, подробнее, верхне-треугольной), если все ее элементы, стоящие ниж;е главной диагонали, равны нулю:

a 11 a 12 0 a ₂₂

a 1 n a 2 n

Например,

1.2 Операции над матрицами

Транспонированной по отношению к матрице A называют матрицу, столбцами которой являются строки матрицы A. Обозначение: A'.

August 31, 2013 Курбатов В.Г. Пример 1. Если

A=(1 - 4 - 1 )' ™ A' =

Суммой (разностью) двух матриц A = { а _ij} и B = { 6 _ij} называют матрицу С = {cij}, состоящую из элементов c_ij = а _ij + 6 _ij (c_ij = а _ij - 6 _ij). Обозначение: С = A + B (или С = A - B). Можно складывать только матрицы одинакового размера.

/1 - 2 3\ /3 2 4\

Пример 2. Пусть A =(0 4 1и B =Г - 2 1 1. Тогда

A + B =

1+3 - 2+2 3+4 = 4 0 7
0+1 4 - 2 1+1 1 2 2

Произведением числа Л и матрицы A = { а _ij} называют матрицу С = {c_ij}, со­стоящую из элементов c_ij = Ла^ _j. Обозначение: С = ХA.