Условие сопряженности тепловых потоков. Число Брюна

При изучении теплового взаимодействия потока с поверхностью стенки различают динамический (скоростной) и тепловой (температурный) пограничные слои (ПС). Первый из них представляет собой пристенную область с существенным изменением продольной скорости, второй – с существенным изменением температуры. Область жидкости или газа, расположенная выше ПС считается невозмущеннным потоком. Внешняя граница пограничного слоя условна. Толщиной динамического (теплового) пограничного слоя считают расстояние от поверхности твердого тела до такой предполагаемой поверхности, где продольная скорость (избыточная температура) составляет 99 % от скорости (избыточной температуры) невозмущенного потока. Обозначаются: d – динамический, d _t – тепловой пограничные слои.

Теоретический анализ показывает, что при ламинарном пограничном слое, который чаще всего имеет место в рабочих полостях ДВС:

d/d _t = Pr^1/3.

Тогда, при Pr = 1, толщины теплового и динамического пограничных слоев равны. Для газов характерно Pr < 1, для них d _t > d; для жидкостей при Pr > 1 – d _t < d.

Рассмотрим стационарную задачу конвективного теплообмена в двумерной постановке на границе газ-стенка. Возьмем тело произвольной конфигурации и рассмотрим сопряжение температурных полей (см. рис. ххх).

Рис. ХХХ. Сопряжение температурных полей в жидкости и стенке.
Здесь: b – локальная толщина стенки; d и d_т – текущие значения
толщин динамического и теплового пограничных слоев

Температура в тепловом пограничном слое изменяется от значения ее в тепловом потоке T_f до T_w на стенке. По толщине стенки температура изменяется от T_w до T_w^* на ее обратной стороне.

Будем считать, что задача плоская, тогда распределение температур в твердой стенке опишется уравнением Лапласа:

(17)

Процесс передачи теплоты от жидкости к стенке в предположении ламинарности пограничного слоя и несжимаемости самой жидкости опишется следующей системой уравнений:

(18)

(19)

(20)

Здесь: (2) – уравнение движения в ЛПС, (3) – уравнение сплошности потока, (4) – уравнение энергии. В этих уравнениях: U_x (x,z)и U_z (x,z) – продольная и поперечная компоненты скорости в пограничном слое; T (x,z) – распределение температур в пограничном слое.

Движение жидкости или газа вне пограничного слоя, считая что оно явно турбулентно, опишется уравнением Эйлера:

(21)

Индекс “0” у скорости U предполагает, что благодаря высокой степени турбулентности поля скоростей, температур и давлений по оси z выравнены.

Граничные условия для системы уравнений (18)-(21) следующие:

на стенке (z = 0), T = T_w и U_x = U_z = 0 (условия прилипания);

в потоке (z → ¥), T = T_f, U_x = U ₀. (22)

Решение системы уравнений (18)-(21) дает распределение скоростей и температур в пограничном слое, что в дальнейшем позволяет отыскать значение плотности теплового потока, идущего в стенку согласно гипотезе Фурье о тепловом потоке:

(23)

Запишем закон сохранения энергии на границе раздела газ-стенка:

.

Согласно гипотезе Фурье о тепловом потоке, закон сохранения энергии для границы раздела двух сред запишется в виде:

. (24)

Линеаризуем поля температур в теле детали и пограничном слое:

где ε – коэффициент, учитывающий погрешность перехода от истинного профиля температур к линейному; – температурный напор со стороны потока; – изменение температуры по толщине стенки.

После преобразования получим:

(25)

Последнее выражение представляет собой условие согласования температурных полей в жидкости и твердой стенке.

Введем обозначение:

тогда, домножив числитель и знаменатель на ненулевую продольную координату x, получим:

Известно, что при линейном распределении температур в пограничном слое

.

Тогда:

поскольку

Следует также отметить, что для линейного распределения температур в пограничном слое выражения Фурье и Ньютона тождественны:

(26)

Далее, интенсивность теплоотдачи конвекцией в общем случае есть функция режима течения и теплофизических свойств самой жидкости:

тогда

Обозначим:

(27)

– как число Брюна, определяющее условие сопряжения тепловых потоков. Тогда общий вид условия сопряжения на границе раздела газ-стенка будет выглядеть следующим образом:

(28)

Возможны два случая сопряжения.

1. Если Br _x =0 или Br _x ®0, тогда

что возможно, если(как для изотермической пластины T_w= const) или перепаддостаточно мал по отношению к перепаду т.е. .

Таким образом, задача нахождения интенсивности теплоотдачи α является изотермической, а сам коэффициент α не зависит от распределения температур в стенке.

Окончательно граничные условия 3-го рода сформулируем из равенства:

или

(29)

Знак “минус” в последнем выражении часто опускают, поскольку он отражает только противоположную направленность теплового потока относительно градиента температуры в пограничном слое. А сами граничные условия третьего рода задают в виде коэффициента теплоотдачи α и температуры внешнего потока T_f.

2. Если или , тогда

В этом случае температурные поля в пограничном слое и твердом теле сопряжены и зависят друг от друга, а знание только коэффициента теплоотдачи a недостаточно для их сопряжения (необходимо знать первоначальное распределение температур в стенке).

Граничные условия 4-го рода окончательно формулируются в виде:

(30)

а при решении задач теплообмена при граничных условиях 4-го рода температурные поля в пограничном слое и стенке необходимо сопрягать.

Следует отметить, что большинство задач теплообмена в ДВС относится к классу сопряженных, поэтому есть необходимость в определении области применимости условий 3-го рода.

2.3. Особенности задания граничных условий теплообмена
в различных рабочих полостях ДВС

В качестве рабочих сред в ДВС приходится иметь дело с такими веществами, как воздух, продукты сгорания, вода, антифриз, масло и т.д. В качестве конструкционных материалов используют стали, чугуны, алюминиевые и другие сплавы.

Примем следующие допущения:

1. течение жидкости или газа – безградиентное;

2. режим течения в пограничном слое – ламинарный.

Для принятых условий имеем:

Поскольку погрешность линеаризации (число e), как правило, неизвестно, составим следующий комплекс:

Положив толщину стенки b = 0,01 м, произведем его оценки для различных контактирующих пар (см. таблицу). Единственной переменной в указанном выражении является продольная координата x (или калибр – x/b). Задаваясь координатой, строим график зависимости комплекса Q/e от x/b (см. рис.).

Таблица.

№	Контактирующая пара	Определяющая температура		U 0, м/с
	Масло-сталь		0,0025
	Вода-сталь		0,015	0,1
	Воздух-сталь		0,0006
	Воздух-Al сплав		0,00025

Примем допустимую погрешность в задании граничных условий теплообмена в 5 % (что соответствует Br _x» 0,1), поскольку все критериальные уравнения имеют точность порядка ±10 %.

Из анализа протекания кривых, представленных на рисунке видно, что для кривой 4 (воздух-алюминиевый сплав), и в меньшей степени для кривой 3 (воздух-сталь) применимы граничные условия 3-го рода (ГУ 3). Поскольку продукты сгорания по теплофизическим свойствам мало отличаются от воздуха, то для камер сгорания ДВС и рубашек воздушного охлаждения при расчете теплоотдачи можно положить T_w= const. Для систем жидкостного охлаждения или маслом следует использовать граничные условия 4-го рода (ГУ 4). Здесь требуется первоначальное задание распределения температур в теле детали, которое может уточняться при выполнении нескольких приближений, в противном случае точность расчета ГУ и температур в теле будет низкой, а температурные поля не сопряжены.

0,4 0,3 0,2 0,1 0,0

Однако к проведенному анализу следует сделать несколько замечаний. Первое связанно с тем, что большинство процессов теплопередачи в ДВС происходит на начальных участках развития пограничного слоя (для огневой поверхности поршня, к примеру, максимальное значение x/b находится в пределах 5…7), а следовательно при достаточно больших соотношениях Q/e. Это уже означает, что в расчетах теплового состояния деталей ДВС практически всегда необходимо реализовывать ГУ 4.

Второе. Для расчета граничных условий теплообмена практически всегда требуется первоначальное задание температуры стенки T_w, поскольку она входит в расчет определяющей температуры. Поэтому, после расчета температурного поля в исследуемой детали, всегда полезно проверить точность первоначально заданного значения T_w, и при необходимости, уточнить его. Это, в свою очередь, будет способствовать более точному сопряжению температурных полей в жидкости и стенке, т.е. реализации ГУ 4.

Третье. При воздействии на поверхности исследуемой детали тепловых потоков различной физической природы, практически всегда необходимо реализовывать ГУ4, поскольку искомая температура T_w используется в расчете температурного напора и плотности теплового потока в стенку (или наоборот – коэффициента теплоотдачи, например если a_S = a_к + a_л).

Четвертое. При решении краевых задач теплопроводности часто возникает необходимость учета различного рода нелинейности, т.е когда от искомой функции распределения температур в теле детали T (x,y,z) нелинейно зависят входящие в решаемую систему уравнений величины.

Нелинейность 1 рода – когда от температуры зависят теплофизические параметры материала детали – т.е. c = c (T), l = l(T), r = r(T), a = a (T) и т.д. Эту нелинейность часто называют внутренней, возникающей при решении задачи теплопроводности.

Нелинейность 2 рода – когда от температуры зависят плотность теплового потока в стенку или коэффициент теплоотдачи: q = q (T), a = a(T).

Нелинейность 3 рода – когда от температуры зависит плотность теплового потока от внутреннего источника энергии q_v = q_v (T), например при диссипации ее в узле трения.

Нелинейности последних двух родов считаются внешними и опредееляют нелинейность граничных условий.

Очевидно, что при решении задач теплопроводности с различного рода нелинейностями необходимо сопрягать температурные поля, т.е. реализовывать ГУ 4-го рода, поскольку конечный результат зависит от самой искомой величины T (x,y,z).