Курс лекций и практика

1 2

Литература

Глава 6. Третий фундаментальный закон механики (закон баланса энергии).

Итак,,

Рассмотрим частные случаи.

а) Сплошной цилиндр,

б) Оболочка ():,

в) Пластинка ():,

г) Стержень (бесконечно тонкий цилиндр) ():,

3.Прямой круговой конус (радиус основания R, высота h, плотность).

Найдем.

Чтобы не вычислять тройной интеграл по x,y,z в декартовых А Y

координатах (или по,

разобьем конус на пластинки толщиной,

радиуса и моментом инерции X r

, С ·

Тогда.

Далее найдем сумму

И, вычислив интеграл,получим

Моменты инерции относительно центральных осей вычисляются с помощью теоремы Гюйгенса-Штейнера (AC=):

5.2.6.Дифференциальное уравнение вращения вокруг неподвижной оси.

. Физический маятник.

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Z.

· C

Уравнение второго фундаментального закона имеет вид

, или

где точка А - любая точка на оси вращения,. - вектор угловой скорости.

Если нас интересует только угол поворота, достаточно найти одну лишь проекцию на

ось Z, для чего умножим скалярно обе части уравнения на и внесем его в производную:

По определению, осевой момент инерции, причем постоянный,

а момент относительно оси Z. Таким образом, получили дифференциальное

уравнение вращения вокруг неподвижной оси:

(5.31)

Если ось подвеса горизонтальна и внешними воздействиями являются сила тяжести и,

разумеется, опорные воздействия, с которыми ось подвеса действует на тело, то тело

называют физическим маятником.

В этом случае уравнение (5.31) принимает вид нелинейного уравнения

которое может быть проинтегрировано либо численно, либо в так называемых эллиптических функциях. Уравнение малых колебаний, под которыми будут пониматься

движения, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, получим,

положив:

, (5.32)

где обозначение квадрат собственной частоты.

Решение уравнения (5.32) имеет вид

где константы определяются из начальных условий.

Ясно, что измеряя собственную частоту (или период), можно экспериментально

найти момент инерции.

5.2.6. Дифференциальные уравнения произвольного движения твердого тела.

Замена опорной точки во втором фундаментальном законе.

Уравнения первого и второго законов полностью описывают трансляционное и

вращательное движения твердого тела:

. (5.33)

Второму уравнению можно придать более удобный для решения вид.

а) б)

С ·

В · В

A Рис.5.4

Кинетический момент относительно неподвижной точки А можем выразить через

кинетический момент относительно какой – либо подвижной точки В (см. (5.17)):

Аналогично.

Подставляя эти выражения во второе уравнение (5.33), получим с учетом

. (5.34)

Уравнение (5.34) проще и удобнее применять.

1. В качестве подвижной точки можем взять не принадлежащую телу точку, например,

точку касания поверхности катящегося (или скользящего) тела (рис.5.4а).В этом случае

, поэтому уравнение (5.34) упростится:

и, кроме того, в уравнение не войдут неизвестные реакции, поскольку их момент

относительно точки В равен нулю.

2. Если в качестве подвижной точки В взять центр масс, уравнение (5.34) примет вид

или, вспоминая (см.5.20), что,

. (5.35)

Это уравнение полностью описывает вращательное движение и не отличается от

уравнения, описывающего вращение вокруг неподвижной точки.

Таким образом, удобной в большинстве случаев системой уравнений, описывающих

произвольное движение твердого тела является

(5.36)

Плоское движение.

Если тело совершает плоское движение, то., где единичный вектор,

перпендикулярный плоскости движения.

Первое уравнение в (5.36) проецируется

на оси X и Y в плоскости движения, а

второе скалярным умножением на Y

проецируется на ось Z, проходящей через

центр масс: C Z

С учетом имеем X

(5.37)

5.2.7. Динамические реакции оси вращающегося тела.

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Z под действием момента

. Поскольку нас интересуют только реакции, возникающие при вращении тела

(динамические реакции) и которые, собственно, и принуждают тело совершать плоское

движение, прочие воздействия не рассматриваются.

B Z

C ·

Уравнения первого и второго законов имеют вид

(5.38)

Найдем проекции (5.38) на оси X,Y,Z, связанные с телом. Имеем

,,,

(5.39)

Последнее уравнение – уравнение вращения вокруг неподвижной оси, третье уравнение

содержит только сумму реакций, но не позволяет их найти. Первое, второе, четвертое и

пятое уравнение – система, из которой определяются динамические реакции

и из нее же, разумеется, можем найти условия, при которых они равны нулю

Так как движение произвольное, то выполнение этих равенств возможно только когда

- статическая уравновешенность и

динамическая уравновешенность,

т.е. динамические реакции равны нулю, если ось вращения является главной центральной.

Пример. Ось вращения диска составляет с перпендикуляром к плоскости диска угол.

Диск статически уравновешен, т.е. центр масс лежит на оси вращения:.

Масса диска, радиус, диск совершает 12000, расстояние

между подшипниками.

A B

Первые два уравнения системы (5.39) дают, а из четвертого

и пятого находим

Центробежные моменты инерции найдем из теоремы Гюйгенса- Штейнера

, (5.40)

, где.

Из (5.40) имеем

Таким образом,

Для данных условий задачи и весьма незначительного угла получим

, что значительно превышает статическую реакцию 5 кГ.

Пример. Качение шара по вращающейся плоскости.

𝜴

· C

По вращающейся с угловой скоростью 𝜴 платформе катится шарик массы и радиуса.

Запишем уравнения динамики (5.36)

С учетом того, что тензор инерции шаровой, уравнения принимают вид

, (1)

, (2)

где горизонтальная составляющая реакции платформы.

Добавим к (1),(2) условие отсутствия проскальзывания в точке касания В:

(3)

Исключим из уравнений все неизвестные, оставив только.

Подставим из первого уравнения во второе, умножим его векторно справа на и,

раскрывая двойное векторное произведение, получим

Подставив в это уравнение найденное из третьего уравнения выражение

, получим

или, обозначив

Подобное уравнение уже встречалось в (5.1.2) и решение его проще всего записать с

помощью тензора поворота (напомним формулу Пуассона):

Таким образом, постоянный по величине вектор скорости «вращается» с постоянной

угловой скоростью вокруг; нетрудно понять, что это возможно, только если центр

масс движется по окружности, радиус которой можно найти, если проинтегрировать

и подставить начальные условия.

Пример. Качение шара по внутренней поверхности вертикального цилиндра.

Чтобы предотвратить проскальзывание, шарик массы m и радиуса катится с достаточно

большой окружной скоростью. Кажется правдоподобным, что траектория будет

иметь вид спирали увеличивающейся крутизны.

Скорость и ускорение центра масс шарика в цилиндрической системе координат

, (). (1)

Уравнения движения

, (2)

, (3)

где лежащая в касательной плоскости в точке касания составляющая реакции.

Условие отсутствия проскальзывания

, (в координатном виде) (4)

дополним его производной

. (5)

Выразим из (2), подставим его в (3) и найдем.

Подставляя полученное выражение в (5), с учетом

получим

(6)

Умножая скалярно уравнение (6) на,получим (проекция на равна нулю):

(7)

(8)

Из (7) следует немедленно, а в (8) величину

найдем через ее же производную:.

Первое слагаемое в силу (3) равно нулю, а второе с учетом (4) равно, так что

(константу можем принять равной нулю). Окончательно получим

,где обозначено

Решение этого уравнения имеет вид постоянные,

определяемые из начальных условий) и показывает, что шарик совершает гармонические

колебания по высоте (!).

6.1. Кинетическая энергия материальной точки и твердого тела. Теорема Кенига.

Кинетическая энергия материальной точки,

тела, состоящего из материальных точек, C A · (6.1)

континуального тела. (6.2)

Для твердого тела. Подставим это выражение в (6.2):

Второе слагаемое равно, а подынтегральное выражение

в третьем преобразуем, чтобы вынести из интеграла постоянный множитель:

Имеем.

Таким образом,

(6.3)

Рассмотрим частные случаи.

а) Тело вращается вокруг неподвижной точки:

(6.4)

б) В качестве полюса взят центр масс:

(6.5)

Формула (6.5) представляет собой частный случай (для твердого тела) теоремы Кенига:

Кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения

со скоростью центра масс и энергии относительного движения относительно системы

отсчета, движущейся поступательно со скоростью центра масс (для твердого тела

относительное движение - вращение вокруг центра масс).

Для плоского движения и формулы (6.4), (6.5) примут вид

вращение вокруг неподвижной оси, (6.4а)

(6.5а)

где осевые моменты инерции постоянные величины.

6.2. Мощность, работа. Потенциальные воздействия.

Мощность силы,

мощность момента

Элементарная работа

Символ означает, что элементарная работа не является в общем случае

дифференциалом функции А ввиду произвольности сил и моментов.

Для силы элементарная работа вычисляется по хорошо знакомой из курса физики

формуле, а вот для момента

известная формула имеет место только для плоского движения, когда,

поэтому определение мощности как работы в единицу времени при произвольном

движении тела становится весьма затруднительным.

Найдем мощность сил и моментов, приложенных к твердому телу.

По определению. Подставив и,

переставив сомножители в смешанном произведении, получим

. (6.6)

Ясно, что мощность (6.6) не зависит от выбора полюса А.

Потенциальные воздействия.

Существует довольно узкий класс сил и моментов, мощность которых равна полной

производной по времени от некоторой функции положения P:

Такие воздействия называются потенциальными, а P - потенциальной энергией (знак (-)

принято ставить для удобства).

Если рассматривается сила, то аргументом функции P является вектор положения точки

приложения силы, т.е., а если момент, то аргументом являются параметры,

задающие ориентацию, например, углы Эйлера, т.е P=P(.

Для потенциальных сил и моментов элементарная работа является дифференциалом

функции:; отсюда следует равносильное определение

потенциальных воздействий: для них работа не зависит от пути перехода из первого

положения во второе:

;

и, как следствие, работа по замкнутому контуру равна нулю:

Если вектор силы известен, то условия его потенциальности можем получить, приравнивая

где оператор Гамильтона(набла-оператор, градиент).

Видим, что, т.е. и, поскольку смешанные

производные не зависят от порядка дифференцирования, для потенциальной силы

должны выполняться равенства которые на языке

дифференциальных операций равносильны равенству нулю ротора силы

6.3. Примеры потенциальных воздействий

Пример 1. Однородное поле тяготения:,. Z

или, если записать, то

Пример 2. Гравитационная сила

Обозначим для краткости.

Действующая на первое тело со стороны второго

сила.

Мощность.

Дифференцируя равенство, получим,

поэтому следовательно,.

Принимая, что при бесконечном удалении тел потенциальная энергия равна нулю,

получим C=0.

Пример 3. Сила упругости пружины

А) Линейная пружина

где длина недеформированной пружины

В) Спиральная пружина

6.4. Теорема об изменении кинетической энергии.

Скорость изменения кинетической энергии равна мощности внешних

и внутренних воздействий:

. (6.7)

Эта теорема является следствием первого и второго фундаментальных законов механики.

Рассмотрим (для простоты) тело, состоящее из материальных точек. Дифференцируя по

времени кинетическую энергию, получим с учетом

первого ФЗМ для точки (второго закона Ньютона)

Форма записи теоремы (6.7) называется дифференциальной; проинтегрировав ее,

получим интегральную форму или

(6.8)

Если все внутренние воздействия потенциальные, т.е., то (6.7) принимает вид

, (6.9)

Сумма называется полной механической энергией тела.

Если потенциальны и внешние воздействия, то имеем закон сохранения

энергии расширенной системы (в энергию включается потенциальная энергия

воздействия на тело внешнего окружения):

(6.10)

Системы (тела), где все воздействия потенциальны, называются консервативными.

6.5. Третий фундаментальный закон механики (закон баланса энергии).

Приведенная выше модель окружающего мира, описываемая двумя фундаментальными

законами механики и их следствием- теоремой об изменении кинетической энергии, явно

недостаточна. Во первых, мы мало что знаем о внутренних воздействиях, да и

повседневный опыт показывает, что причинами движения тел являются не только

силы и моменты, созданные окружающими телами, но и но и подвод энергии того или

иного немеханического вида (тепловой, электрической и др.).

Рассмотрим простую задачу:

два диска с осевыми моментами инерции и, вращающиеся соосно с разными угловыми

скоростями и, в момент приводятся в зацепление и далее вращаются вместе

с неизвестной угловой скоростью.

Проекция второго закона на ось вращения имеет вид =0, т.е. проекция

кинетического момента на ось постоянна, отсюда находим

(А)

Найдем теперь угловую скорость с помощью теоремы об изменении кинетической

энергии, тем более, что она и выводилась из двух законов механики. Имеем

поскольку изначально, а равенство нулю следует из того, что скорости точек

касания сцепляющихся дисков одинаковы, а силы. Таким образом, и

. (Б)

Разумеется, правильным результатом является формула (А).Найдем разность кинетических

энергий после и до сцепления. Опуская несложные выкладки, получим

«Потерянная» энергия превратилась либо в тепловую энергию, либо стала энергией

деформации дисков, причем часть ее могла быть отведена в виде, скажем, тепла. Все

эти (и другие) варианты определяются свойствами тел.

В любом случае необходимо ввести в механику понятия внутренней энергии и подвода

энергии в тело:

(6.11)

Скорость изменения полной энергии тела равна сумме мощности внешних

воздействий и скорости подвода энергии в тело.

В (6.1) кинетическая энергия, внутренняя энергия, полная энергия,

мощность внешних воздействий, скорость подвода энергии в тело. Если тело

не обменивается энергией со своим окружением, оно называется замкнутым.

Понятие внутренней энергии успешно используется в механике деформируемых тел,

в частности, для корректного введения векторов и тензоров деформации; в нашем же

курсе внутренняя энергия встречается только как внутренняя потенциальная энергия.

Глава 7. Механика Лагранжа

7.1.Обобщенные координаты, связи, число степеней свободы.

Обобщенные координаты - параметры любой размерности, которые

точно (либо с достаточной степенью точности) описывают положение тела.

Обобщенными скоростями называются производные,

Так, положение точки задается тремя координатами, твердого тела – шестью.

Ограничения, налагаемые на положения и скорости точек тела окружающими телами,

называются соответственно позиционными (геометрическими) и кинематическими связями.

Связями.называют и сами тела, обеспечивающие ограничения. Аналитические выражения,

описывающие ограничения, называют уравнениями связей.

Если уравнения связей содержат только координаты, связи называются голономными;

разумеется, голономными являются и интегрируемые кинематические связи.

Неинтегрируемые кинематические связи называются неголономными.

Число независимых обобщенных координат (называется числом степеней

свободы по положению, а число независимых обобщенных скоростей – числом степеней

свободы по скоростям.

Рассмотрим некоторые простые примеры.

Z 1. Точка движется по поверхности

Три обобщенные координаты,

Y одно уравнение голономной связи(уравнение поверхности)

Число степеней свободы

2. Качение диска.

Две обобщенные координаты,

одно уравнение кинематической связи - условие отсутствия

проскальзывания.

Уравнение связи интегрируется:,следовательно

связь голономная и число степеней свободы.

y 3. Движение конька

Считаем, что лезвие конька касается льда в одной точке А

А · и скорость точки касания направлена вдоль лезвия.

X Три обобщенные координаты (), т.е три степени

свободы по положению; одна кинематическая неинтегрируемая, то есть неголономная

связь - условие отсутствия бокового скольжения:

или.

Таким образом, конек имеет две степени свободы по скоростям.

y 4. Изгиб стержня с шарнирными опорами.

////// ////// x

Стержень- деформируемое тело с бесконечным числом степеней свободы. Для описания

его изгиба можно взять в качестве обобщенных координат коэффициенты в

представлении, которое удовлетворяет краевым условиям - равенству

нулю прогибов и моментов в шарнирных опорах. Разумеется, этот подход приближенный

и соответствует описанию положения «с достаточной степенью точности».

7.2. Уравнения Лагранжа (второго рода).

Традиционно уравнения Лагранжа выводятся из уравнений Даламбера–Лагранжа для тел, состоящих из материальных точек, взаимодействие между которыми описываются только силами; хотя уравнения без какого–либо обоснования применяются для описания движения и твердых тел и твердых деформируемых тел, действие на тела–точки которых описывается силами и моментами, что влечет за собой необходимость введения наряду с возможными (виртуальными) перемещениями и возможных поворотов Это нетрудно сделать только для плоских движений, когда, где единичный вектор m перпендикулярен плоскости движения.

Вместе с тем следует заметить, что принцип Даламбера, опирающийся на первый фундаментальный закон изменения импульса (для точек–второй закон Ньютона) и на его обобщение для твердых тел-точек - на второй (закон изменения кинетического момента) требует введения совершенно новых понятий - возможных, виртуальных и действительных перемещений и поворотов. Подобный подход способен создать у изучающего механику впечатление, что кроме фундаментальных законов необходимы еще какие-то добавочные «принципы».

Мы покажем, что уравнения Лагранжа следуют из записанной в обобщенных координатах теоремы об изменении кинетической энергии, которая на основе первого и второго законов легко доказывается для систем, состоящих из материальных точек и твердых тел, воздействия на которые описываются силами и моментами; она же, разумеется, является частным случаем третьего фундаментального закона баланса энергии.

Принимается следующее утверждение: нестационарных связей в общепринятой со времен Лагранжа форме=(x, t) нет; явное присутствие времени в описании положения тела объясняется тем, что некоторые обобщенные координаты по необъясняемым причинам объявляются известными функциями времени.

Обозначим все обобщенные координаты (в том числе и зависимости которых от времени объявляются известными) через.Линейные скорости и угловые скорости являются однородными линейными функциями обобщенных скоростей

и, поскольку общий вид кинетической энергии для тел- точек имеет вид

T = +, то кинетическая энергия всей системы будет однородной квадратичной формой обобщенных скоростей.

Тогда.

По теореме Эйлера об однородных функциях, следовательно

Мощность внешних и внутренних воздействий для тела-точки является однородной линейной формой обобщенных скоростей

где коэффициенты при обобщенных скоростях по определению называются обобщенными силами. Теорема об изменении кинетической энергии = принимает вид

!) (7.1)

Вследствие того, что теорема верна для всех движений, которые определяются произвольными начальными условиями и произвольными же обобщенными силами и из-за независимости обобщенных скоростей (для голономных систем) все коэффициенты при скоростях равны нулю:

(7.2)

Это и есть система уравнений Лагранжа, которая определяет действительное движение.

Замечание 1. Если воздействия потенциальные, т.е. то обобщенные силы вычисляются через потенциальную энергию:

Замечание 2. (Принцип возможных скоростей)

Поскольку уравнения равновесия (покоя) являются частным случаем уравнений динамики

и получаются из них приравниванием нулю скоростей и ускорений, т.е. левых частей

уравнений (7.2), то в положении равновесия обобщенные силы равны нулю; отсюда в

соответствии с их определением следует утверждение:

необходимым условием равновесия является равенство нулю мощности воздействий,

вычисляемых на произвольных скоростях, сообщаемых телу в положении равновесия.

Это утверждение называется принципом возможных скоростей (перемещений)».

Замечание 3. Следует подчеркнуть, что изложенный выше подход позволяет вычислять обобщенные силы (воздействия), которые обеспечивают постулируемую ранее зависимость некоторых координат от времени.

Пример 1. Материальная точка массы m подвешена на нити, длина которой изменяется по закону.

Система имеет две обобщенные координаты - и. Кинетическая энергия

, мощность = (mg cos

Уравнения Лагранжа S

) =

Из первого уравнения определяется натяжение нити S.

Пример 2. По вращающемуся стержню (строительному крану) движется тележка.

Пренебрежем (для простоты) массой и размерами

самой тележки, обозначим через массу всех колес,

которые будем считать однородными дисками радиуса,

осевой момент инерции крана, жесткость пружины.

Система имеет две степени свободы. Запишем уравнения Лагранжа

Сообщим находящейся в актуальном (т.е. произвольном) положении системе скорости и напишем кинетическую энергию

где - скорость центра колеса, центральный момент инерции, угловая скорость колеса.

Приняв кран за подвижную систему отсчета, найдем

Обобщенные силы найдем «по определению», причем ввиду независимости

обобщенных скоростей можно для упрощения вычислений считать нулями все скорости кроме одной.

1. Положим:.

2.Положим:,

где длина недеформированной пружины.

Уравнения Лагранжа будут иметь вид

Рассмотрим частный случай движения, при котором кран вращается с постоянной угловой

скоростью (именно этот случай чаще всего встречается в учебных задачах).

Второе уравнение запишем в виде:

Для достаточно жесткой пружины это уравнение описывает гармонические колебания

Первое уравнение дает нам значение момента, который необходим для вращения с постоянной

угловой скоростью:

………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………

Вернемся к выводу уравнений Лагранжа.

На первый взгляд может показаться, что перечисленных факторов произвольности и независимости скоростей недостаточно, чтобы каждая из скобок в сумме (1) была равна нулю, поскольку внутри скобок имеются те же скорости.

Заметим, что уравнение (7.1) получено на основе первых двух фундаментальных законов, а внутри скобок стоят проекции этих законов на независимые для голономных систем

базисные векторы множества векторов положения материальных точек и тензоров поворота твердых тел, входящих в систему.

Рассмотрим для простоты тело, состоящее из материальных точек. Умножим каждое уравнение скалярно на и просуммируем их:

), (s=1,2…n). (7.3)

Справа в (7.3) стоит обобщенная сила, а левая часть стандартным образом (см. например) преобразуется с использованием тождеств Лагранжа, которые в нашем подходе ввиду отсутствия времени в описании положения совершенно очевидны:

и ввиду изменения порядка дифференцирования.

Имеем =

, (7.4)

что и требовалось показать.

Такой же результат получим и для твердого тела, умножая уравнение второго закона

. (7.5)

С помощью тождеств типа Лагранжа для вращательных движений

, (7.6)

(7.5) также приводится (см.приложение) к виду (7.4), где

Замечание 4.(О неголономных системах)

Заметим, что запись теоремы в виде (7.1) позволяет получать уравнения и для неголономных систем с линейными связями между скоростями вида

. (7.7)

Для этого необходимо выразить из (7.7) q скоростей через (n-q) «независимых», подставить их в (7.1) и привести к аналогичной записи

откуда следуют уравнения, последние совместно с уравнениями связей (7.7), которые, разумеется, дифференцируются, и замыкают задачу.

Пример 3. Движение стержня в вертикальной плоскости, при котором скорость центра масс направлена вдоль стержня. Масса стержня m, момент инерции относительно горизонтальной центральной оси J.

y n

Обобщенные координаты – декартовы координаты центра масс и угол поворота.

Кинетическая энергия m() + J, мощность, где перпендикулярная к стержню сила обеспечивает выполнение уравнения связи

Уравнение (7.1) имеет вид.

Подставляя в него уравнение связи, получим

= 0,

откуда

Второе уравнение сразу дает, а первое заменой приводится к линейному уравнению, решение которого имеет вид

, откуда находим, а из уравнения связи.

Эта задача приводится в книге, где она решалась методом неопределенных коэффициентов Лагранжа и с помощью уравнений Аппеля.

Приложение.

Тождества типа Лагранжа для вращательных движений и их применение для