2014-02-24
810
О т в е т ы
4.1. а) 4 %
б) 
4.2. 
1.4×
4.3. а) 
.
б) 
г) 
4.4. а) 
б) 
г) 
В состоянии теплового равновесия частицы идеального газа имеют различные скорости, которые меняются и результате столкновений. На вопрос какова вероятность того, что частица обладает определенной скоростью, отвечает распределение Максвелла. Оно является частным случаем распределения Гиббса, когда энергия частицы есть только ее кинетическая энергия: 
. В декартовой системе координат, в пространстве скоростей
,
,
, распределение Максвелла имеет следующий вид:
, (5.1)
где 
- масса частицы идеального газа. Постоянная 
находится из условия нормировки:
(5.2)
При решении некоторых задач удобно пользоваться распределением Максвелла по отдельным компонентам скоростей:
(5.3)
– это вероятность того, что значение компоненты скорости частицы лежит в интервале от до 
. Аналогичные выражения справедливы для вероятностей 
и 
. Примерный вид плотности вероятности 
приведен на рис.5.1.
В сферической системе координат распределение Максвелла, в случае изотропного пространства, имеет следующий вид:
. (5.4)
Оно отвечает на вопрос какова вероятность того, что абсолютная скорость частицы лежит в интервале от 
до 
, а также на вопрос, сколько частиц 
из 
имеют абсолютную скорость в заданном интервале:
. (5.5)
Следует отметить, что и – очень большие числа, но 
. Соответственно, доля частиц, имеющих абсолютную скорость в интервале от до , равна
. (5.6)
На рис.5.2 приведен примерный вид плотностей вероятности распределения Максвелла для различных температур. Здесь же
 |
показаны наивероятнейшие скорости каждого распределения. Как видно, они растут с увеличением температуры. Их значения можно получить, решая задачу на экстремум функции плотности вероятности:
. (5.7)
Приведенные формулы распределения Максвелла позволяют находить средние значения различных микроскопических параметров, зависящих от скорости или ее отдельных компонент, в соответствии с общей процедурой усреднения. Если параметр зависит от абсолютной скорости - 
, то его среднее значение найдется вычислением интеграла
 |
Среднее значение параметра, зависящего от одной компоненты скорости, вычисляется по формуле
. (5.9)
В случае, когда параметр зависит от двух или трех компонент скорости, для его усреднения следует использовать распределение (5.1).
Характерными скоростями распределения Максвелла принято называть три величины:
1. Наивероятнейшая скорость - 
.
2. Средняя скорость - 
.
3. Средняя квадратичная скорость - 
.
