Тема 2. 2. Нелинейное программирование

В данной теме описываются оптимизационные задачи не­линейного программирования (НЛП), математические модели которых содержат нелинейные зависимости от переменных. Источники нелинейностей относятся в основном к одной из двух категорий:

• реально существующие и эмпирически наблюдаемые нели­нейные соотношения, такие, например, как непропорцио­нальные зависимости между объемом производства и за­тратами; между количеством используемого в производстве компонента и некоторыми показателями качества готовой продукции; между затратами сырья и физическими парамет­рами (давление, температура и т.п.) соответствующего про­изводственного процесса; между выручкой и объемом реали­зации и др.;

• установленные (постулируемые) руководством правила по­ведения или задаваемые зависимости, такие, например, как формулы или правила расчета с потребителями энергии или других видов услуг; эвристические правила определения стра­ховых уровней запаса продукции; гипотезы о характере ве­роятностного распределения рассматриваемых в модели случайных величин; различного рода договорные условия взаимодействия между партнерами по бизнесу и др.

Решать линейные задачи значительно проще и, если линейная модель обеспечивает адекватность реальным ситуациям, то ее и следует использовать. В практике экономического управления имеется большой опыт успешного применения моделей линей­ного программирования даже в условиях нелинейности. В не­которых случаях нелинейности были несущественными и можно было пренебречь, в других — производилась линеаризация нелинейных соотношений или применялись специальные приемы, например, строились так называемые линейные аппроксимационные модели, благодаря чему достигалась указанная выше адекватность. Тем не менее имеется большое число ситуаций, где нелинейность является существенной и ее нужно учитывать в явном виде.

В общем виде задача нелинейного программирования описывается с помощью следующей модели нелинейного программирования:

F(x)→ max; (1)

g(x)≤ b_i i = 1, …, m; (2)

x ≥ 0, (3)

где x = (x₁, …, x_n)— вектор переменных задачи.

Задача (1)—(3) называется задачей нелинейного программирования в стандартной форме на максимум.

Аналогично может быть сформулирована задача НЛП на минимум.

Вектор х = (x₁, …,x_n), компоненты х_j которого удовлетво­ряют ограничениям (2)—(3), называется допустимым решением или допустимым планом задачи нелинейного программирования.

Совокупность всех допустимых планов называется множе­ством допустимых планов.

Допустимое решение задачи нелинейного программирования, на котором целевая функция (1) достигает максимального зна­чения, называется оптимальным решением задачи НЛП.

Возможные местонахождения максимального значения функ­ции F(x) при наличии ограничений (2) и (3) определяются сле­дующим общим принципом. Максимальное значение F(x), если оно существует, может достигаться в одной или более точках, которые могут принадлежать:

S₁ —множеству внутренних точек области допустимых ре­шений, в которых все первые частные производные функции F равны нулю;

S₂ —множеству точек границы допустимой области;

S₃ — множеству точек допустимой области, в которой функ­ция не дифференцируема.

В отличие от задач линейного программирования, любая из которых может быть решена с помощью симплекс-метода, не существует одного или нескольких алгоритмов, эффективных для решения любых нелинейных задач. Некоторый алгоритм мо­жет оказаться эффективным для решения задач одного типа и неудачным для задач другого типа. Эффективность алгоритма мо­жет даже существенно зависеть от постановки задачи, например, от изменения масштабов измерения тех или иных переменных. Поэтому алгоритмы разрабатываются для каждого класса (типа) задач. При этом программы, ориентированные на решение определенного класса задач, как правило, не гарантируют пра­вильность решения любых задач данного класса, и оптимальность решения рекомендуется проверять в каждом конкретном случае.

.