Формула логарифмического дифференцирования

Таблица производных основных элементарных функций

Функция f(x)	Производная f’(x)	Функция f (x)	Производная f’(x)
c (const)		ln x
xa (а -любое число)	a x a -1	logax
		ax	ax ln a
		ex	ex
cos x	-sin x	arctg x
sin x	cos x	arcsin x
tg x		ctg x

Пример: (6 sin x - 2 ln x)¢ = (6 sin x)¢ - (2 ln x)¢ = 6 (sin x)¢ - 2 (ln x)¢ = 6 cos x -

(lnxּcosx)' = ּcosx - lnxּsinx.

Дифференцирование сложной функции. Пусть дифференцируемая функция g (x) является аргументами другой функции f (x). В этом случае говорят о сложной функции у (x) = f (g (x)) или суперпозиции функций f и g.

Вычислим производную сложной функции. Найдем приращение функции D у (x).

Для этого выберем в области определения функции два произвольных значения аргумента х и х ₁ = x + D x. Вычислим соответствующие значения функции g (x + D x) и g (x)

И найдем ее приращение

D g (x) = g (x + D x) - g (x) g (x + D x) = g (x) + D g (x).

Аналогично найдем значения функции f (g (x + D x)) и f (g (x)). Тогда

D f = f (g (x +D x)) – f (g (x)) = f (g (x) + D g (x)) – f (g (x)). (1.8)

Подставим выражение (1.8) в (1.1). Умножим и разделим на D g (x) и сгруппируем сомножители. Тогда производная сложной функции

(1.9)

В компактной форме производную от сложной функции можно записать так

(1.10)

Формула (1.10), называемая правилом цепочки иобобщается на случай большего числа аргументов.

[ f (g (h (...(v (x)...)))]¢= f '_g g ¢_h... v ¢_x (1.11)

Например у = ln (sin (x ²)). Эта сложная функция состоит из следующих отдельных функций: f = ln g, g = sin h, h = x ². При этом

Тогда

Пример 1. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производные следующих функций:

Решение.

1.

2. есть сложная функция , где .

Производная сложной функции имеет вид

или .

Следовательно,

.

- сложная функция , где , а ,

.

4. .Применяя логарифмическое дифференцирование, находим

f (x) = cos (x), f ’(x) = - sin(x). g(x) = sin(2 x), g’(x) = cos(2 x) 2.

Пример 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке, где .

Решение. Уравнение касательной к кривой в точке

,

, .

Для определения углового коэффициента касательной находим производную

,

.

Подставляя значения в уравнение, получим

или

.

Уравнение нормали

,

или .