Теорема Роля

Глава 3. Теоремы о дифференцируемых функциях.

Глава 2. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью. Дифференциал функции.

Теорема. Если функция у (x) = f (x) дифференцируема в своей области определения, то она непрерывна. Обратное не верно: из непрерывности функции дифференцируемость не следует.

Доказательство. Дифференцируемость означает наличие производной

(2.1)

Используем теорему о разности между функцией и ее пределом (раздел 3. Формула (3.1)):

если

, (2.2)

то

f (x) = A + a (х), (2.3)

где a (х) величина бесконечно малая.

Сравнивая выражения (2. 2) и (2. 3) получим, что в нашем случае

A y’ (x), f (x) ,

т.е.

= y’ (x) + a (Δ х). (2.4)

Умножим (2.4) на Δ х

. (2.5)

Из (2.5) следует, что если , то и , что является доказательством непрерывности функции (см. раздел 3).

Приведем пример показывающий, что непрерывная функция может быть не дифференцируемой. Возьмем функцию

Эта функция непрерывна на всей области определения, так как в точке х ₀ = 0 выполняется соотношение (см. раздел 3)

== f (x ₀).

Действительно

= f (x ₀).

Следовательно в точке 0 функция непрерывна.

Но производной в этой точке нет, так как слева при x < 0, y ’(x) = -1, а справа при x > 0 y ’(x) = 1.

Вернемся к формуле (2.5). Дифференциалом df(x) функции f (x) в точке х называется линейная по D x часть приращения функции

d f (x) = . (2.6)

По определению для независимой переменной Δ х = d x. Поэтому дифференциал функции f(x) записывают чаще так

(2.7)

Формула (2.7) сохраняется и в том случае, когда х зависимая переменная (формула (2.6) для зависимой переменной неверна).

Геометрический смысл дифференциала (рис.2.1).

Производная f ¢(x) численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции f (x). Дифференциал равен изменению ординаты, касательной к функции в точке N. Замена истинного приращения функции NB D f (x) = f (x + D x) - f (x) на дифференциал СВ равносильна замене части графика функции на соответствующую часть касательной к этому графику (см. также рис.1.1).

Производная f ¢(x) является функцией того же аргумента х, что и исходная функция. Поэтому ее можно опять дифференцировать, т.е. вычислять предел отношения приращения производной к приращению аргумента

= .

Если этот предел существует и конечен, то он называется второй производной от функции f(x) в точке х. Принятое обозначение:

Подобным образом вводят производные n -го порядка f ⁽ⁿ⁾(x) = (f ⁽ⁿ^-1)(x))¢.

В механике вторая производная от пути по времени есть ускорение

Пример 1. Производные от степенной функции y = х ⁿ.

y ¢ = n x ^n-1,

y ¢¢ = n (n-1) x ^n-2,

y ¢¢¢ = n (n-1) (n-2) x ^n-3,

...,

y^(k)= n (n-1) (n-2)...(n-k+1) x ^(n-k)при (к £ n).

Пример 2. Точка совершает прямолинейное колебательное движение по закону . Найти скорость и ускорение точки в момент времени .

Решение. Найдем скорость и ускорение а в любой момент времени t

; .

При

, .

Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от первого дифференциала

d(d f (x)) = (d f (x))¢Dx = (f ¢(x)D x)¢D x = f ¢¢(x) (D x)²

Пример. Вычислить производную функции заданной параметрически

Функция от независимой переменной задана через посредство вспомогательной переменной (параметра t). Производная от по определяется формулой

Находим производные от и по параметру t:

Для дифференцируемых функций выполняется ряд важных для приложений теорем. Перечислим основные теоремы.

Теорема Вейерштрасса.

Если функция непрерывна на замкнутом промежутке [a, b], то она достигает на этом промежутке наибольшего M и наименьшего m значений.

При этом могут возникать три случая.

1. Наименьшее и наибольшее значения достигаются внутра промежутка [a, b] (рис.3.1а).

а б в

Рис. 3.1. Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале.

2. На границе достигается либо только наибольшее, либо только наименьшее значение (рис. 3.1б).

3. На границе достигается и наибольшее и наименьшее значение (рис. 3.1в).

Пусть функция у = f (x):

1. непрерывна на отрезке [a, b],

2. дифференцируема во всех внутренних точках отрезка, т. е. в интервале (a,b),

3. f (а) = f (b).

Тогда внутри отрезка (a, b) существует по крайней мере одна точка с a < c < b в которой производная обращается в ноль f `(c) = 0.

Замечание. Точка с является корнем производной. Если f(а) = f(b) =0, то теорема формулируется так: между корнями функции лежит корень производной.

Доказательство. Функция у = f (x) непрерывна на промежутке [a,b], то, по теореме Вейерштрасса, она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Но так как значения функции на концах промежутка совпадают, то исключен третий случай теоремы Вейерштрасса, т.е. одно из значений – наибольшее или наименьшее – достигаются внутри промежутка. Предположим, что внутри в точке с a < c < b достигается наибольшее значение М = f (с), остальные случаи доказываются аналогично. Докажем, что в точке с производная обращается в ноль.

Возьмем два значения аргумента х ₁> c, х ₂ < c (рис. 3.2).

Для х ₁

D x = х ₁– с, D x > 0,

D f (x) = f (х ₁) - f (с) = f (х ₁) - М < 0.

Следовательно

Для х ₂

D x = х ₂– с, D x < 0,

D f (x) = f (х ₂) - f (с) = f (х ₂) - М < 0.

Следовательно

Тем самым, в точке с f `(c) = 0.

Рис. 3.2. Теорема Ролля.

Замечание. В точке с касательная идет горизонтально параллельно оси ОХ.

Формула Лагранжа (формула конечных приращений). Пусть функция у = f (x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках отрезка, т. е. в интервале (a,b), то внутри отрезка существует по крайней мере одна точка с a < c < b в которой справедливо равенство: полное приращение функции равно производной, вычислленной в точке с, умноженной на длину промежутка

f (b) - f (а) = f `(c)(b - а). (3.1)

В точке с касательная параллельна секущей MN (см. рис. 3.3).

Теорема Коши. Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны на отрезке [a,b], причем g (x) ≠ 0, дифференцируемы во всех внутренних точках отрезка, т. е. в интервале (a,b), то внутри отрезка существует точка с a < c < b в которой справедливо равенство

(3.2)

Правило Лопиталя. Пусть функции f (x) и g (x) на отрезке [a,b] удовлетворяют условию теоремы Коши и f (с) = g (с) = 0 (a < c < b), то если существует предел отношения производных при х →с, то существует и придел отношения функций в этой точке, причем

(3.3)

Замечание. Правило Лопиталя можно применять и для раскрытия неопределенностей типа .

Рис. 3.4. Геометрический смысл формулы конечных приращений.

Пример. Вычислить предел .

Решение. Так как е^-х = 1/е^х, то предел можно преобразовать к виду

Формула Тейлора. Пусть функция у = f (x) в интервале (a,b) имеет производные до (n+1)-го порядка включительно. Приближающий полином n-ой степени, значение которого и его производных до порядка n включительно совпадают со значением функции и ее производных в точке x₀ имеет вид

(3.4)

В окрестности точки х₀замена функции полиномом (3.4) дает некоторую ошибку. Формула Тейлораобеспечивает возможность точной замены данной функции полиномом

(3.5)

где a < x < b, a < x ₀ < b, x ₀ < c <x.

Выражение

(3.6)

называется остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа. Величина R_n(x).определяет погрешность, возникающую при замене функции полиномом степени n из (3.4). Форма Лагранжа позволяет при вычислениях найти оценку сверху для ½R_n(x)½.

Если учесть, что

Δ х = х – х _0,

Δ f (x) = f (x) - f (x ₀),

dⁿ f (x)= f ⁿ(x)Δ х,

то получим дифференциальную форму формулы Тейлора

(3.7)